1. Énonçons le problème : Calculer l'intégrale $$\int \frac{2x^3}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$$. 2. Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser une substitution trigonométrique car l'expression sous la racine est de la forme $a^2 - x^2$. 3. Posons $x = 2\sin\theta$, alors $dx = 2\cos\theta \, d\theta$ et $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$. 4. Remplaçons dans l'intégrale : $$\int \frac{2(2\sin\theta)^3}{2\cos\theta} \times 2\cos\theta \, d\theta = \int 2 \times 8 \sin^3\theta \, d\theta = \int 16 \sin^3\theta \, d\theta$$ 5. Simplifions l'intégrale : $$\int 16 \sin^3\theta \, d\theta = 16 \int \sin^3\theta \, d\theta$$ 6. Utilisons la formule pour $\sin^3\theta = \sin\theta (1 - \cos^2\theta)$ : $$16 \int \sin\theta (1 - \cos^2\theta) \, d\theta = 16 \left( \int \sin\theta \, d\theta - \int \sin\theta \cos^2\theta \, d\theta \right)$$ 7. Pour $\int \sin\theta \, d\theta = -\cos\theta + C$. 8. Pour $\int \sin\theta \cos^2\theta \, d\theta$, posons $u = \cos\theta$, donc $du = -\sin\theta \, d\theta$, donc: $$\int \sin\theta \cos^2\theta \, d\theta = -\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3\theta}{3} + C$$ 9. Donc l'intégrale devient : $$16 \left( -\cos\theta + \frac{\cos^3\theta}{3} \right) + C = -16 \cos\theta + \frac{16}{3} \cos^3\theta + C$$ 10. Repassons en fonction de $x$ : $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$. 11. Donc : $$-16 \times \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} + \frac{16}{3} \times \left( \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \right)^3 + C = -8 \sqrt{4 - x^2} + \frac{16}{3} \times \frac{(4 - x^2)^{3/2}}{8} + C$$ 12. Simplifions : $$-8 \sqrt{4 - x^2} + \frac{2}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C$$ 13. La solution finale est donc : $$\boxed{\int \frac{2x^3}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = -8 \sqrt{4 - x^2} + \frac{2}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C}$$