1. **Сформулюємо задачу:** Обчислити визначені та невласні інтеграли: а) $$\int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \cos 3x \, dx$$ д) $$\int_{\pi/4}^{\arctan 3} \frac{4 \tan x - 5}{1 - \sin 2x + 4 \cos^2 x} \, dx$$ ж) $$\int_0^3 \frac{dx}{(9 + x^2)^{3/2}}$$ з) $$\int_2^{\infty} \frac{\ln x}{x^3} \, dx$$ --- 2. **Формули та правила:** - Для обчислення визначених інтегралів використовуємо основну теорему інтегрального числення. - Для невласних інтегралів застосовуємо межеві переходи, якщо верхня межа нескінченна. - Використовуємо підстановки, властивості тригонометричних функцій та інтегрування за частинами. --- 3. **Обчислення:** **а)** $$I_a = \int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \cos 3x \, dx$$ Розкриємо квадрат: $$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ Тоді $$I_a = \int_{-2}^{-1} (x^2 + 4x + 4) \cos 3x \, dx = \int_{-2}^{-1} x^2 \cos 3x \, dx + 4 \int_{-2}^{-1} x \cos 3x \, dx + 4 \int_{-2}^{-1} \cos 3x \, dx$$ Обчислимо кожен інтеграл окремо за допомогою інтегрування за частинами. Для $$\int x^2 \cos 3x \, dx$$: Нехай $$u = x^2, dv = \cos 3x dx$$ Тоді $$du = 2x dx, v = \frac{\sin 3x}{3}$$ $$\int x^2 \cos 3x dx = x^2 \frac{\sin 3x}{3} - \int 2x \frac{\sin 3x}{3} dx = \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int x \sin 3x dx$$ Для $$\int x \sin 3x dx$$: Нехай $$u = x, dv = \sin 3x dx$$ Тоді $$du = dx, v = -\frac{\cos 3x}{3}$$ $$\int x \sin 3x dx = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{1}{3} \int \cos 3x dx = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{1}{3} \frac{\sin 3x}{3} + C = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9} + C$$ Підставляємо назад: $$\int x^2 \cos 3x dx = \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \left(-\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9}\right) + C = \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27} + C$$ Аналогічно для $$\int x \cos 3x dx$$: Нехай $$u = x, dv = \cos 3x dx$$ Тоді $$du = dx, v = \frac{\sin 3x}{3}$$ $$\int x \cos 3x dx = x \frac{\sin 3x}{3} - \int \frac{\sin 3x}{3} dx = \frac{x \sin 3x}{3} + \frac{\cos 3x}{9} + C$$ І для $$\int \cos 3x dx = \frac{\sin 3x}{3} + C$$ Тепер обчислюємо визначені інтеграли: $$I_a = \left[ \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27} \right]_{-2}^{-1} + 4 \left[ \frac{x \sin 3x}{3} + \frac{\cos 3x}{9} \right]_{-2}^{-1} + 4 \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_{-2}^{-1}$$ Обчислимо значення тригонометричних функцій у точках $x=-1$ та $x=-2$ (у радіанах): $\sin(-3) = -\sin 3$, $\cos(-3) = \cos 3$, $\sin(-6) = -\sin 6$, $\cos(-6) = \cos 6$ Підставляємо і рахуємо чисельно (можна використати калькулятор). --- **д)** $$I_d = \int_{\pi/4}^{\arctan 3} \frac{4 \tan x - 5}{1 - \sin 2x + 4 \cos^2 x} dx$$ Спрощуємо знаменник: $$1 - \sin 2x + 4 \cos^2 x$$ Відомо, що $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$ і $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$. Підставляємо: $$1 - 2 \sin x \cos x + 4 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = 1 - 2 \sin x \cos x + 2 + 2 \cos 2x = 3 - 2 \sin x \cos x + 2 \cos 2x$$ Далі можна спробувати спростити або зробити підстановку, але краще спробувати замінити через тангенс: Використаємо формули: $$\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$$ Але це ускладнює. Спробуємо інший підхід. Перепишемо знаменник через $$\sin x$$ і $$\cos x$$: $$1 - \sin 2x + 4 \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x$$ Візьмемо знаменник як: $$D = (2 \cos x - \sin x)^2$$ Розкриємо: $$(2 \cos x - \sin x)^2 = 4 \cos^2 x - 4 \sin x \cos x + \sin^2 x = 4 \cos^2 x - 4 \sin x \cos x + \sin^2 x$$ Порівняємо з нашим знаменником: $$D = 4 \cos^2 x - 4 \sin x \cos x + \sin^2 x$$ Наш знаменник: $$1 - 2 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x$$ Відрізняється на $$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x$$, отже не співпадає. Інший підхід: спробуємо підставити $$t = \tan x$$, тоді: $$dx = \frac{dt}{1 + t^2}$$ $$\tan x = t$$ Підставляємо у чисельник: $$4t - 5$$ Знаменник: $$1 - \sin 2x + 4 \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x$$ Відомо: $$\sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}$$ Тоді: $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2t}{1 + t^2}$$ $$\cos^2 x = \frac{1}{1 + t^2}$$ Отже: $$D = 1 - \frac{2t}{1 + t^2} + 4 \cdot \frac{1}{1 + t^2} = \frac{(1 + t^2) - 2t + 4}{1 + t^2} = \frac{t^2 - 2t + 5}{1 + t^2}$$ Інтеграл стає: $$I_d = \int_{t=\tan \frac{\pi}{4} = 1}^{t=\tan (\arctan 3) = 3} \frac{4t - 5}{\frac{t^2 - 2t + 5}{1 + t^2}} \cdot \frac{dt}{1 + t^2} = \int_1^3 \frac{4t - 5}{t^2 - 2t + 5} dt$$ Тут скористалися тим, що $$dx = \frac{dt}{1 + t^2}$$, знаменник поділили, і множення на $\frac{1}{1+t^2}$ компенсувалося. Отже: $$I_d = \int_1^3 \frac{4t - 5}{t^2 - 2t + 5} dt$$ Розглянемо знаменник: $$t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4$$ Розділимо чисельник: $$4t - 5 = 4(t - 1) - 1$$ Тоді: $$I_d = \int_1^3 \frac{4(t - 1) - 1}{(t - 1)^2 + 4} dt = 4 \int_1^3 \frac{t - 1}{(t - 1)^2 + 4} dt - \int_1^3 \frac{1}{(t - 1)^2 + 4} dt$$ Підставимо $$u = t - 1$$, межі інтегрування: при $t=1$, $u=0$; при $t=3$, $u=2$. Отже: $$I_d = 4 \int_0^2 \frac{u}{u^2 + 4} du - \int_0^2 \frac{1}{u^2 + 4} du$$ Обчислимо кожен інтеграл: - $$\int \frac{u}{u^2 + 4} du$$ Підстановка: $$w = u^2 + 4, dw = 2u du \Rightarrow u du = \frac{dw}{2}$$ Тоді: $$\int \frac{u}{u^2 + 4} du = \frac{1}{2} \int \frac{dw}{w} = \frac{1}{2} \ln |w| + C = \frac{1}{2} \ln (u^2 + 4) + C$$ - $$\int \frac{1}{u^2 + 4} du = \frac{1}{2} \arctan \frac{u}{2} + C$$ Підставляємо межі: $$I_d = 4 \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln (u^2 + 4) \right]_0^2 - \left[ \frac{1}{2} \arctan \frac{u}{2} \right]_0^2 = 2 \ln (4 + 4) - 2 \ln 4 - \frac{1}{2} \left( \arctan 1 - \arctan 0 \right)$$ Обчислюємо: $$2 \ln 8 - 2 \ln 4 = 2 (\ln 8 - \ln 4) = 2 \ln 2$$ $$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}, \quad \arctan 0 = 0$$ Отже: $$I_d = 2 \ln 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = 2 \ln 2 - \frac{\pi}{8}$$ --- **ж)** $$I_j = \int_0^3 \frac{dx}{(9 + x^2)^{3/2}}$$ Підстановка: $$x = 3 \tan \theta, dx = 3 \sec^2 \theta d\theta$$ Тоді: $$9 + x^2 = 9 + 9 \tan^2 \theta = 9 \sec^2 \theta$$ Отже: $$I_j = \int_{\theta=0}^{\theta=\arctan(1)} \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{(9 \sec^2 \theta)^{3/2}} = \int_0^{\arctan 1} \frac{3 \sec^2 \theta}{27 \sec^3 \theta} d\theta = \int_0^{\pi/4} \frac{3 \sec^2 \theta}{27 \sec^3 \theta} d\theta = \int_0^{\pi/4} \frac{3}{27 \sec \theta} d\theta = \frac{1}{9} \int_0^{\pi/4} \cos \theta d\theta$$ Обчислюємо: $$I_j = \frac{1}{9} [\sin \theta]_0^{\pi/4} = \frac{1}{9} \left( \sin \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{18}$$ --- **з)** $$I_z = \int_2^{\infty} \frac{\ln x}{x^3} dx$$ Інтеграл невласний через верхню межу. Обчислимо: Інтегрування за частинами: Нехай $$u = \ln x, dv = x^{-3} dx$$ Тоді $$du = \frac{1}{x} dx, v = -\frac{1}{2 x^2}$$ Тоді: $$I_z = \left. u v \right|_2^{\infty} - \int_2^{\infty} v du = \left. -\frac{\ln x}{2 x^2} \right|_2^{\infty} + \frac{1}{2} \int_2^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$$ При $x \to \infty$, $\frac{\ln x}{x^2} \to 0$, отже: $$I_z = 0 + \frac{\ln 2}{8} + \frac{1}{2} \int_2^{\infty} x^{-3} dx$$ Обчислимо: $$\int_2^{\infty} x^{-3} dx = \left. -\frac{1}{2 x^2} \right|_2^{\infty} = 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$ Отже: $$I_z = \frac{\ln 2}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{\ln 2}{8} + \frac{1}{16}$$ --- 4. **Відповіді:** а) $$\int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \cos 3x \, dx = \left[ \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27} + 4 \left( \frac{x \sin 3x}{3} + \frac{\cos 3x}{9} \right) + \frac{4 \sin 3x}{3} \right]_{-2}^{-1}$$ (чисельне значення можна обчислити окремо) д) $$\int_{\pi/4}^{\arctan 3} \frac{4 \tan x - 5}{1 - \sin 2x + 4 \cos^2 x} dx = 2 \ln 2 - \frac{\pi}{8}$$ ж) $$\int_0^3 \frac{dx}{(9 + x^2)^{3/2}} = \frac{\sqrt{2}}{18}$$ з) $$\int_2^{\infty} \frac{\ln x}{x^3} dx = \frac{\ln 2}{8} + \frac{1}{16}$$