1. **Énoncé du problème :** Calculer l'intégrale $$I = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx$$ par intégration par parties. 2. **Formule d'intégration par parties :** $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. **Choix des fonctions :** Posons $$u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx$$ et $$dv = \frac{1}{x^2} dx = x^{-2} dx \Rightarrow v = \int x^{-2} dx = -\frac{1}{x}$$ 4. **Application de la formule :** $$I = \left. u v \right|_1^e - \int_1^e v \, du = \left. \ln(x) \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_1^e - \int_1^e \left(-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x} dx$$ 5. **Simplification :** $$I = -\left. \frac{\ln(x)}{x} \right|_1^e + \int_1^e \frac{1}{x^2} dx$$ 6. **Calcul des bornes :** $$-\left( \frac{\ln(e)}{e} - \frac{\ln(1)}{1} \right) + \int_1^e x^{-2} dx = -\left( \frac{1}{e} - 0 \right) + \int_1^e x^{-2} dx = -\frac{1}{e} + \int_1^e x^{-2} dx$$ 7. **Calcul de l'intégrale restante :** $$\int_1^e x^{-2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_1^e = -\frac{1}{e} + 1$$ 8. **Valeur finale :** $$I = -\frac{1}{e} + \left(-\frac{1}{e} + 1\right) = 1 - \frac{2}{e}$$ --- 9. **Définition de l'aire $A$ :** $$A = \int_1^e (f_{n+1}(x) - f_n(x)) \, dx$$ 10. **Remarque :** Par linéarité de l'intégrale, $$A = \int_1^e f_{n+1}(x) \, dx - \int_1^e f_n(x) \, dx = A_{n+1} - A_n$$ --- 11. **Calcul de $A_2$ :** $$A_2 = \int_1^e f_2(x) \, dx = 3 - \frac{5}{e}$$ (donné) 12. **Justification que $A_{n+1} - A_n$ est constante :** Puisque $A = A_{n+1} - A_n$ ne dépend pas de $n$, la différence est constante. 13. **Nature de la suite $(A_n)$ :** La suite $(A_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = A_{n+1} - A_n = A$ constante.