1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا دالة ت(س) معرفة على شكل دالة قطعة (piecewise) كالتالي: $$ \text{ت(س)}=\begin{cases} س^2 + 2ب س, & 0 \leq س < 2 \\ س^3 + 4أ, & 2 \leq س \leq 5 \end{cases} $$ وهي دالة مكاملة للدالة ق(س) على الفترة [0,5]. المطلوب هو إيجاد قيم الثابتين أ و ب. 2. بما أن ت(س) هي دالة مكاملة لق(س)، فهي مشتقة ت(س) تعطينا ق(س) تقريباً، ويجب أن تكون ت(س) مستمرة عند نقطة التقسيم س=2. 3. أولاً، نوجد مشتقة ت(س) في كل جزء: - للمجال $0 \leq س < 2$: $$ \frac{d}{dس}(س^2 + 2ب س) = 2س + 2ب $$ - للمجال $2 \leq س \leq 5$: $$ \frac{d}{dس}(س^3 + 4أ) = 3س^2 $$ 4. لأن ت(س) هي دالة مكاملة لق(س)، يجب أن تكون مشتقتها متصلة عند س=2، أي: $$ \lim_{س \to 2^-} ت'(س) = \lim_{س \to 2^+} ت'(س) $$ أي: $$ 2(2) + 2ب = 3(2)^2 $$ $$ 4 + 2ب = 12 $$ $$ 2ب = 8 \Rightarrow ب = 4 $$ 5. أيضاً، يجب أن تكون ت(س) مستمرة عند س=2: $$ \lim_{س \to 2^-} ت(س) = \lim_{س \to 2^+} ت(س) $$ أي: $$ 2^2 + 2 \times 4 \times 2 = 2^3 + 4أ $$ $$ 4 + 16 = 8 + 4أ $$ $$ 20 = 8 + 4أ $$ $$ 4أ = 12 \Rightarrow أ = 3 $$ 6. إذن القيم المطلوبة هي: $$ أ = 3, \quad ب = 4 $$