1. Problem Übung 7: Berechnen Sie die Integrale. (a) \(\int (1 - 2 e^{-x}) \, dx\) 2. Wir integrieren jeden Term einzeln: \[\int 1 \, dx = x + C_1\] \[\int -2 e^{-x} \, dx = -2 \int e^{-x} \, dx\] 3. Die Integration von \(e^{-x}\) ist \(-e^{-x} + C_2\), also: \[\int -2 e^{-x} \, dx = -2 (-e^{-x}) + C_2 = 2 e^{-x} + C_2\] 4. Zusammengefasst: \[\int (1 - 2 e^{-x}) \, dx = x + 2 e^{-x} + C\] (b) \(\int (e^x + e^{-2x}) \, dx\) 5. Integration termweise: \[\int e^x \, dx = e^x + C_1\] \[\int e^{-2x} \, dx = \frac{1}{-2} e^{-2x} + C_2 = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C_2\] 6. Zusammen: \[\int (e^x + e^{-2x}) \, dx = e^x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C\] (c) \(\int \sin\left(-\frac{1}{4} x\right) \, dx\) 7. Verwenden Sie die Substitutionsregel: \(u = -\frac{1}{4} x\), dann \(du = -\frac{1}{4} dx\) oder \(dx = -4 du\). 8. Also: \[\int \sin(u) \, dx = \int \sin(u) (-4) \, du = -4 \int \sin(u) \, du\] 9. Integration von \(\sin u\) ist \(-\cos u + C\), somit: \[-4 (-\cos u) + C = 4 \cos u + C = 4 \cos\left(-\frac{1}{4} x\right) + C\] 10. Da \(\cos\) eine gerade Funktion ist, gilt \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\), also: \[\int \sin\left(-\frac{1}{4} x\right) \, dx = 4 \cos\left(\frac{1}{4} x\right) + C\] (d) \(\int 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} x\right) \, dx\) 11. Ziehen Sie die Konstante 2 vor das Integral: \[2 \int \cos\left(\frac{\pi}{4} x\right) \, dx\] 12. Substitution: \(u = \frac{\pi}{4} x\), \(du = \frac{\pi}{4} dx\), also \(dx = \frac{4}{\pi} du\). 13. Dann: \[2 \int \cos(u) \frac{4}{\pi} \, du = \frac{8}{\pi} \int \cos(u) \, du = \frac{8}{\pi} \sin(u) + C = \frac{8}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right) + C\] --- 2. Problem Übung 8: Flächeninhalt A unter Kurven (a) Fläche unter \(y = \sin x\) von \(0\) bis \(\pi\) 14. Fläche berechnet durch das Integral: \[A = \int_0^{\pi} \sin x \, dx\] 15. Integration: \[\int \sin x \, dx = -\cos x + C\] 16. Auswertung: \[A = [-\cos x]_0^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2\] (b) Fläche unter \(y = e^{-x}\) von \(0\) bis \(1\) 17. Fläche: \[A = \int_0^1 e^{-x} \, dx\] 18. Integration: \[\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C\] 19. Auswertung: \[A = [-e^{-x}]_0^1 = (-e^{-1}) - (-e^{0}) = -\frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{1}{e}\] --- 3. Problem Übung 9: Dachfläche zwischen \(f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right)\) und \(g(x) = 3 e^{-0.25 x}\) von \(x=0\) bis \(x=\) Schnittpunkt 20. Zuerst bestimmen wir den Schnittpunkt \(x_s\) durch Gleichsetzen: \[\sin\left(\frac{\pi}{3} x_s\right) = 3 e^{-0.25 x_s}\] 21. Numerische Lösung (ungefähr): \(x_s \approx 2.4\) (durch Näherung oder graphisch) 22. Die Dachfläche ist das Integral der Differenz: \[A = \int_0^{x_s} \left(3 e^{-0.25 x} - \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right)\right) \, dx\] 23. Integration der einzelnen Teile: \[\int 3 e^{-0.25 x} \, dx = 3 \int e^{-0.25 x} \, dx = 3 \left(-\frac{1}{0.25} e^{-0.25 x}\right) + C = -12 e^{-0.25 x} + C\] \[\int \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) \, dx = -\frac{3}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + C\] 24. Zusammen: \[A = \left[-12 e^{-0.25 x} + \frac{3}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right)\right]_0^{x_s}\] 25. Einsetzen: \[A = \left(-12 e^{-0.25 x_s} + \frac{3}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x_s\right)\right) - \left(-12 e^{0} + \frac{3}{\pi} \cos 0\right)\] \[= -12 e^{-0.25 x_s} + \frac{3}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x_s\right) + 12 - \frac{3}{\pi}\]\ 26. Numerisch mit \(x_s \approx 2.4\): \[e^{-0.25 \cdot 2.4} \approx e^{-0.6} \approx 0.5488\] \[\cos\left(\frac{\pi}{3} \cdot 2.4\right) = \cos(2.513) \approx -0.809\] \[A \approx -12 \times 0.5488 + \frac{3}{\pi} \times (-0.809) + 12 - \frac{3}{\pi}\] \[= -6.5856 - 0.773 + 12 - 0.955 = 3.6864 - 1.728 = 1.9584\] 27. Da 1 LE = 10 m, die Dachfläche ist etwa \(1.96 \times 10 = 19.6\) Quadratmeter. --- **Endergebnis:** (a) \(\int (1 - 2 e^{-x}) \, dx = x + 2 e^{-x} + C\) (b) \(\int (e^x + e^{-2x}) \, dx = e^x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C\) (c) \(\int \sin\left(-\frac{1}{4} x\right) \, dx = 4 \cos\left(\frac{1}{4} x\right) + C\) (d) \(\int 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} x\right) \, dx = \frac{8}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right) + C\) Flächen: (a) Fläche unter \(\sin x\) von 0 bis \(\pi\) ist 2. (b) Fläche unter \(e^{-x}\) von 0 bis 1 ist \(1 - \frac{1}{e}\). Dachfläche: Ungefähr 19.6 Quadratmeter.