1. **Énoncé du problème :** Calculer l'intégrale $$\int_0^1 x e^x \, dx$$ en utilisant l'intégration par parties. 2. **Formule d'intégration par parties :** $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. **Choix des fonctions :** - Posons $$u = x$$ donc $$du = dx$$ - Posons $$dv = e^x dx$$ donc $$v = e^x$$ 4. **Application de la formule :** $$\int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx$$ 5. **Calcul de chaque terme :** - $$\left[ x e^x \right]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 = e - 0 = e$$ - $$\int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$$ 6. **Substitution et simplification :** $$\int_0^1 x e^x \, dx = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1$$ **Réponse finale :** $$\int_0^1 x e^x \, dx = 1$$