1. **Énoncé du problème :** Calculer $I_1 = \int_0^1 x \sqrt[3]{1 - x} \, dx$ en utilisant une intégration par parties, puis montrer que $I_1 = \frac{3}{7} I_0$ où $I_0 = \int_0^1 \sqrt[3]{1 - x} \, dx$. 2. **Rappel de la formule d'intégration par parties :** $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Cette formule permet de transformer une intégrale en une autre plus simple à calculer. 3. **Choix des fonctions :** Posons $$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx$$ $$dv = \sqrt[3]{1 - x} \, dx = (1 - x)^{\frac{1}{3}} dx$$ Nous devons calculer $v = \int dv = \int (1 - x)^{\frac{1}{3}} dx$. 4. **Calcul de $v$ :** Posons $t = 1 - x$, alors $dt = -dx$, donc $$v = \int (1 - x)^{\frac{1}{3}} dx = - \int t^{\frac{1}{3}} dt = - \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = - \frac{3}{4} (1 - x)^{\frac{4}{3}} + C$$ 5. **Application de l'intégration par parties :** $$I_1 = \int_0^1 x (1 - x)^{\frac{1}{3}} dx = \left[ x \cdot \left(- \frac{3}{4} (1 - x)^{\frac{4}{3}} \right) \right]_0^1 - \int_0^1 \left(- \frac{3}{4} (1 - x)^{\frac{4}{3}} \right) dx$$ 6. **Calcul de la première partie :** $$\left[ - \frac{3}{4} x (1 - x)^{\frac{4}{3}} \right]_0^1 = - \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot (1 - 1)^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{4} \cdot 0 \cdot (1 - 0)^{\frac{4}{3}} = 0$$ 7. **Simplification de l'intégrale restante :** $$I_1 = 0 + \frac{3}{4} \int_0^1 (1 - x)^{\frac{4}{3}} dx$$ 8. **Calcul de l'intégrale :** Posons $s = 1 - x$, $ds = -dx$, donc $$\int_0^1 (1 - x)^{\frac{4}{3}} dx = \int_1^0 s^{\frac{4}{3}} (-ds) = \int_0^1 s^{\frac{4}{3}} ds = \left[ \frac{s^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} \right]_0^1 = \frac{3}{7}$$ 9. **Conclusion :** $$I_1 = \frac{3}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{28}$$ 10. **Lien avec $I_0$ :** Rappelons que $$I_0 = \int_0^1 (1 - x)^{\frac{1}{3}} dx = \left[ - \frac{3}{4} (1 - x)^{\frac{4}{3}} \right]_0^1 = \frac{3}{4}$$ Donc $$I_1 = \frac{9}{28} = \frac{3}{7} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{7} I_0$$ **Réponse finale :** $$\boxed{I_1 = \frac{3}{7} I_0}$$