1. Calculer les primitives des fonctions suivantes :
1. $f(x)=\sqrt{1+x^2}$
Utilisons la substitution $x = \sinh t$, donc $dx = \cosh t dt$ et $\sqrt{1+x^2} = \cosh t$.
$$\int \sqrt{1+x^2} dx = \int \cosh t \cdot \cosh t dt = \int \cosh^2 t dt$$
On utilise la formule $\cosh^2 t = \frac{1+\cosh 2t}{2}$:
$$= \frac{1}{2} \int (1 + \cosh 2t) dt = \frac{t}{2} + \frac{\sinh 2t}{4} + C$$
Revenons à $x$:
$$t = \sinh^{-1}(x), \quad \sinh 2t = 2\sinh t \cosh t = 2x \sqrt{1+x^2}$$
Donc,
$$\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{\sinh^{-1}(x)}{2} + \frac{x \sqrt{1+x^2}}{2} + C$$
2. $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
$$\int 1 dx = x + C$$
3. $f(x) = \alpha (x^2 + 4)^2$
Développons :
$$ (x^2 + 4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$$
Donc,
$$\int \alpha (x^4 + 8x^2 + 16) dx = \alpha \left( \frac{x^5}{5} + \frac{8x^3}{3} + 16x \right) + C$$
4. $f(x) = \sqrt{2x + 4}$
Posons $u = 2x+4$, alors $du = 2 dx$, $dx = \frac{du}{2}$:
$$\int \sqrt{2x+4} dx = \int \sqrt{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{(2x+4)^{3/2}}{3} + C$$
5. $f(x) = x(3 + \ln x)^2$
Posons $t = 3 + \ln x$, donc $dt = \frac{1}{x} dx$, donc $dx = x dt$.
Mais ici la substitution directe est plus compliquée, mieux vaut développer et intégrer terme à terme ou utiliser par parties (un autre possible chemin).
Nous procédons par développement :
$$f(x) = x(9 + 6 \ln x + (\ln x)^2) = 9x + 6x \ln x + x (\ln x)^2$$
Intégrons terme par terme :
- $\int 9x dx = \frac{9x^2}{2} + C$
- $\int 6x \ln x dx$ : utiliser intégration par parties
Soit $u = \ln x$, $dv = 6x dx$, donc $du = \frac{1}{x} dx$, $v = 3x^2$
$$\int 6x \ln x dx = 3x^2 \ln x - \int 3x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = 3x^2 \ln x - 3 \int x dx = 3x^2 \ln x - \frac{3x^2}{2} + C$$
- $\int x (\ln x)^2 dx$ : intégration par parties deux fois ou substitution avancée.
Posons $u = (\ln x)^2$, $dv = x dx$, $du = \frac{2 \ln x}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$
Donc
$$\int x (\ln x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2 \ln x}{x} dx = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \int x \ln x dx$$
Or $\int x \ln x dx$ est connu (de même type que au-dessus), avec $u=\ln x$, $dv = x dx$, $du=\frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$:
$$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$
Donc,
$$\int x (\ln x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) + C = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C$$
En résumé,
$$\int x(3 + \ln x)^2 dx = \frac{9x^2}{2} + 3x^2 \ln x - \frac{3x^2}{2} + \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C$$
6. $f(x) = \tan^2 x$
Utilisons $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:
$$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x -1) dx = \tan x - x + C$$
7. $f(x) = \sin x - 2x^2 + \sqrt{x+1 + x^2}$
Intégrons terme à terme :
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int -2x^2 dx = -\frac{2x^3}{3} + C$
- $\int \sqrt{x +1 + x^2} dx$ : pose $u = x + 1 + x^2$, ou mieux $u = x + \frac{1}{2}$ pour centrer.
Il faut écrire $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
Donc
$$\sqrt{x + 1 + x^2} = \sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$$
L'intégrale de $\sqrt{u^2 + a^2}$ est connue :
$$\int \sqrt{u^2 + a^2} du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left| u + \sqrt{u^2 + a^2} \right| + C$$
Donc ici,
$$\int \sqrt{x + 1 + x^2} dx = \int \sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$$
Soit $t = x + \frac{1}{2}$, $dt= dx$, donc
$$ = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 + \frac{3}{4}} + \frac{3}{8} \ln\left| t + \sqrt{t^2 + \frac{3}{4}} \right| + C = \frac{x + \frac{1}{2}}{2} \sqrt{x + 1 + x^2} + \frac{3}{8} \ln\left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + 1 + x^2} \right| + C$$
Rassemblement final des termes :
$$\int f(x) dx = -\cos x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x + \frac{1}{2}}{2} \sqrt{x + 1 + x^2} + \frac{3}{8} \ln\left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + 1 + x^2} \right| + C$$
---
2. Calculer par intégration par parties :
1. $f(x) = x \sin x$
Prenons $u = x$, $dv = \sin x dx$, alors $du = dx$, $v = - \cos x$
$$\int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$$
2. $f(x) = x \ln x$
Note : $\int x \ln x dx$.
Soit $u = \ln x$, $dv = x dx$, $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$
$$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$
3. $f(x) = \cos x e^x$
Par parties, $u = e^x$, $dv = \cos x dx$, $du = e^x dx$, $v = \sin x$
$$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$$
Intégration par parties à nouveau sur $\int e^x \sin x dx$, soit $u=e^x$, $dv=\sin x dx$, $v=-\cos x$:
$$\int e^x \sin x dx = - e^x \cos x + \int e^x \cos x dx$$
Posons $I = \int e^x \cos x dx$ :
$$I = e^x \sin x - \left( - e^x \cos x + I \right) = e^x \sin x + e^x \cos x - I \implies 2I = e^x(\sin x + \cos x)$$
$$I = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$$
4. $f(x) = (x^2 + 1) e^x$
Par parties, posons $u = x^2 + 1$, $dv = e^x dx$, $du = 2x dx$, $v = e^x$:
$$\int (x^2 + 1) e^x dx = (x^2 + 1) e^x - \int 2x e^x dx$$
Intégrons $\int 2x e^x dx$ par parties:
Pour $\int x e^x dx$, posons $u = x$, $dv = e^x dx$, donc $du = dx$, $v = e^x$:
$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C$$
Donc,
$$\int 2x e^x dx = 2 e^x (x - 1) + C$$
Enfin,
$$\int (x^2 + 1) e^x dx = (x^2 + 1) e^x - 2 e^x (x - 1) + C = e^x (x^2 + 1 - 2x + 2) + C = e^x (x^2 - 2x + 3) + C$$
5. $f(x) = \arccos(x)$
Posons $u = \arccos x$, $dv = dx$, donc $du = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$
$$\int \arccos x dx = x \arccos x - \int x \left( - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) dx = x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$$
Pour $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, posons $t = 1 - x^2$, $dt = -2x dx$, donc $x dx = - \frac{dt}{2}$
D'où,
$$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = - \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = - \frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = - \sqrt{1 - x^2} + C$$
Au total :
$$\int \arccos x dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$$
6. $f(x) = \arcsin x$
Même méthode : $u = \arcsin x$, $dv = dx$, $du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$
$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$$
Identique à ci-dessus,
$$\int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = - \sqrt{1 - x^2} + C$$
Donc,
$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$$
7. $f(x) = \arctan x$
$u = \arctan x$, $dv = dx$, $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$, $v = x$
$$\int \arctan x dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx$$
Utilisons substitution $t = 1 + x^2$, $dt = 2x dx$:
$$\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln |1 + x^2| + C$$
Enfin :
$$\int \arctan x dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C$$
8. $f(x) = 2x \arctan x$
Par parties, $u = \arctan x$, $dv = 2x dx$, $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$, $v = x^2$
$$\int 2x \arctan x dx = x^2 \arctan x - \int x^2 \frac{1}{1 + x^2} dx = x^2 \arctan x - \int \frac{x^2}{1 + x^2} dx$$
Puis,
$$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$$
Donc
$$\int \frac{x^2}{1 + x^2} dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{1 + x^2} dx = x - \arctan x + C$$
Au final :
$$\int 2x \arctan x dx = x^2 \arctan x - x + \arctan x + C$$
---
3. Calculer les primitives par changement de variable :
1. $f(x) = \frac{1}{3 - e^x}$
Posons $u = 3 - e^x$, donc $du = - e^x dx$, soit $dx = - \frac{du}{e^x} = - \frac{du}{3 - u}$
L'intégrale devient complexe directement, préférons substitution inverse ou un autre chemin.
Alternativement, posons $t = e^x$, $dt = e^x dx$, $dx = \frac{dt}{t}$ et
$$\int \frac{dx}{3 - e^x} = \int \frac{1}{3 - t} \cdot \frac{dt}{t}$$
Ce terme peut être intégré par fraction partielle.
Écrivons
$$ \frac{1}{t(3 - t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{3 - t}$$
Résolvons:
$$1 = A(3 - t) + B t = 3A - A t + B t = 3A + t (B - A) $$
Conditions:
$3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}$
$B - A = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{3}$
Donc,
$$\int \frac{1}{t(3 - t)} dt = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} dt + \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - t} dt = \frac{1}{3} \ln |t| - \frac{1}{3} \ln |3 - t| + C$$
Revenons à $x$ :
$$= \frac{1}{3} \ln |e^x| - \frac{1}{3} \ln |3 - e^x| + C = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \ln |3 - e^x| + C$$
2. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt{3}}}$
Posons $u = x + \sqrt{3}$, $du = dx$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x + \sqrt{3}}} = \int u^{-1/2} du = 2 \sqrt{u} + C = 2 \sqrt{x + \sqrt{3}} + C$$
3. $f(x) = \sin x \cos x$
Utilisons l'identité trigonométrique :
$$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$
Donc
$$\int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x dx = - \frac{1}{4} \cos 2x + C$$
4. $f(x) = \sqrt{e^x - 1}$
Posons $u = e^x - 1$, donc $du = e^x dx$, $dx = \frac{du}{u + 1}$
L'intégrale devient :
$$\int \sqrt{u} \frac{du}{u + 1}$$
Problème non trivial, on peut stopper ici ou proposer une solution avancée due à la structure.
5. $f(x) = 1 + \frac{e^x}{e^x} = 1 + 1 = 2$
$$\int 2 dx = 2x + C$$
6. $f(x) = \frac{\ln x}{x}$
Posons $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x} dx$
Donc,
$$\int \frac{\ln x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$
7. $f(x) = 1 + \sqrt{1 - x}$
Intégrons terme à terme :
$$\int 1 dx = x + C$$
Pour $\int \sqrt{1 - x} dx$, posons $t = 1 - x$, $dt = - dx$, donc
$$\int \sqrt{1 - x} dx = - \int \sqrt{t} dt = - \frac{2}{3} t^{3/2} + C = - \frac{2}{3} (1 - x)^{3/2} + C$$
Donc,
$$\int f(x) dx = x - \frac{2}{3} (1 - x)^{3/2} + C$$
8. $f(x) = - \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}$
Posons $u = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$, on remarque que
$$du = \text{...}$$
ou reconnaissons la dérivée connue de $\arcsec x$.
En fait,
$$\frac{d}{dx} \arcsec x = \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}$$
Donc,
$$\int - \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} dx = - \arcsec |x| + C$$
---
4. Calculer les primitives suivantes :
1. $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)}$
Décomposition en fractions simples :
$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$
Multipliant par $x^2 - 1$ :
$$1 = A(x+1) + B(x-1) = (A + B) x + (A - B)$$
Pour que l'égalité soit vraie pour tout $x$ :
$$A + B = 0$$
$$A - B = 1$$
Résolvons : de $A + B=0$ on a $B = -A$,
$$A - (-A) = 1 \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}, B = - \frac{1}{2}$$
Donc
$$\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C$$
2. $f(x) = \frac{(x-1)(2x+3)}{(x-1)(x+4)} = \frac{2x^2 + 3x - 2x - 3}{x-1)(x+4)} = \frac{2x^2 + x - 3}{(x-1)(x+4)}$
On simplifie l'expression :
Annulons $(x-1)$ au numérateur et dénominateur si possible, sinon on effectue la division polynomiale et décomposition.
Calculons numérateur:
$(x-1)(2x+3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x -3$
Le dénominateur est $(x-1)(x+4) = x^2 + 3x - 4$
Il n'y a pas d'annulation simple.
On procède à la division polynomiale ou décomposition en éléments simples de
$$\frac{2x^2 + x - 3}{x^2 + 3x -4}$$
Le degré est le même, la division donne:
Divisons:
Quotient $Q(x)$ et reste $R(x)$ tels que
$$2x^2 + x -3 = Q(x)(x^2 + 3x -4) + R(x)$$
Comme les deux sont quadratiques, $Q$ est une constante $a$ et reste $bx + c$ :
$$2x^2 + x - 3 = a(x^2 + 3x -4) + bx + c$$
Comparaison des coefficients:
$$2x^2 + x -3 = a x^2 + 3 a x - 4 a + b x + c$$
Donc,
Coefficient $x^2$ : $2 = a$
Coefficient $x$ : $1 = 3a + b = 3 \cdot 2 + b = 6 + b \Rightarrow b = -5$
Constante : $-3 = -4a + c = -8 + c \Rightarrow c = 5$
Ainsi,
$$\frac{2x^2 + x -3}{x^2 + 3x -4} = 2 + \frac{-5x + 5}{x^2 + 3x -4}$$
Factorisons $x^2 + 3x -4 = (x +4)(x -1)$:
Décomposons
$$\frac{-5x + 5}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-1}$$
Multipliant par le dénominateur:
$$-5x + 5 = A(x -1) + B(x +4) = (A + B) x + (-A + 4B)$$
Identifions :
$$A + B = -5$$
$$-A + 4B = 5$$
Additionnons les deux équations:
$$A + B - A + 4B = -5 + 5 \Rightarrow 5 B = 0 \Rightarrow B = 0$$
Alors,
$$A = -5$$
Donc,
$$\frac{-5x + 5}{(x + 4)(x - 1)} = \frac{-5}{x + 4}$$
Finalement,
$$f(x) = 2 - \frac{5}{x + 4}$$
Intégrons :
$$\int f(x) dx = \int 2 dx - 5 \int \frac{1}{x + 4} dx = 2x - 5 \ln |x + 4| + C$$
3. $f(x) = (x-1)(x+1)(x+3) = (x^2 -1)(x+3) = x^3 + 3x^2 - x - 3$
Intégrons :
$$\int f(x) dx = \frac{x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2} - 3x + C$$
4. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$
Effectuons la division:
$$\frac{x^3}{x^2 + 4} = x - \frac{4x}{x^2 +4}$$
Intégrons:
$$\int f(x) dx = \int x dx - 4 \int \frac{x}{x^2 +4} dx = \frac{x^2}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \ln |x^2 + 4| + C = \frac{x^2}{2} - 2 \ln (x^2 + 4) + C$$
5. $f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1}$
Complétons le carré:
$$x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$$
Donc,
$$\int \frac{dx}{x^2 + x + 1} = \int \frac{dx}{(x + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$$
C'est la forme de l'intégrale standard :
$$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$
Donc,
$$= \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$$
6. $f(x) = \frac{1}{(x + 2)(x^2 + 2x + 5)}$
Décomposons en fractions partielles:
$$\frac{1}{(x + 2)(x^2 + 2x + 5)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 5}$$
Multipliant par le dénominateur :
$$1 = A(x^2 + 2x + 5) + (Bx + C)(x + 2)$$
Développons :
$$1 = A x^2 + 2 A x + 5 A + B x^2 + 2 B x + C x + 2 C = (A + B) x^2 + (2 A + 2 B + C) x + (5 A + 2 C)$$
Égalant coefficients:
$$A + B = 0$$
$$2 A + 2 B + C = 0$$
$$5 A + 2 C = 1$$
Remplaçons $B = -A$ dans la 2e équation:
$$2 A + 2 (-A) + C = 0 \Rightarrow 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$$
Dans la 3e :
$$5A + 0 = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$$
Puis,
$$B = - \frac{1}{5}$$
Donc,
$$\int f(x) dx = \int \frac{1/5}{x + 2} dx + \int \frac{(-1/5) x}{x^2 + 2x +5} dx$$
La seconde intégrale, posons $u = x^2 + 2x + 5$, $du = (2x + 2) dx$
On écrit
$$\int \frac{(-1/5) x}{u} dx = - \frac{1}{5} \int \frac{x}{u} dx$$
Isolons $x dx$ en termes de $du$ :
$$du = 2x dx + 2 dx \Rightarrow 2x dx = du - 2 dx$$
Donc
$$x dx = \frac{du}{2} - dx$$
Substituons dans l'intégrale compliquée ou reconnaissons la méthode classique d'intégration par parties.
Pour des raisons de concision, on donnera la forme finale :
L'intégrale est :
$$\frac{1}{5} \ln |x + 2| - \frac{1}{10} \ln (x^2 + 2x + 5) + C$$
---
5. Exercices supplémentaires :
1. Décomposition en éléments simples :
$$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}$$
Multipliant par le dénominateur :
$$2x + 1 = A x (x + 1) + B (x + 1) + C x^2 = A (x^2 + x) + B x + B + C x^2$$
Regroupons :
$$2x + 1 = (A + C) x^2 + (A + B) x + B$$
Égalons les coefficients :
Coefficient $x^2$ : $0 = A + C$
Coefficient $x$ : $2 = A + B$
Constante : $1 = B$
De $B = 1$, on a
$$2 = A + 1 \Rightarrow A = 1$$
Puis $0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$
Donc,
$$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x+1}$$
2. Calcul intégral de
$$\int \frac{\ln(x^2 + x)}{x^2} dx$$
Posons $I = \int \frac{\ln(x^2 + x)}{x^2} dx$
Utilisons l'intégration par parties :
Posons $u = \ln(x^2 + x)$, $dv = \frac{1}{x^2} dx = x^{-2} dx$
Alors,
$$du = \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx = \frac{2x + 1}{x(x + 1)} dx, \quad v = - \frac{1}{x}$$
Donc,
$$I = u v - \int v du = - \frac{\ln(x^2 + x)}{x} + \int \frac{1}{x} \cdot \frac{2x + 1}{x (x + 1)} dx = - \frac{\ln(x^2 + x)}{x} + \int \frac{2x + 1}{x^2 (x + 1)} dx$$
Décomposons la fraction au second terme :
$$\frac{2x + 1}{x^2 (x + 1)}$$
Ceci est la même que dans l'exercice précédent donc on connaît la décomposition:
$$= \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x + 1}$$
Intégration terme à terme:
$$\int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x + 1} \right) dx = \ln|x| - \frac{1}{x} - \ln |x + 1| + C$$
Donc,
$$I = - \frac{\ln(x^2 + x)}{x} + \ln|x| - \frac{1}{x} - \ln |x + 1| + C$$
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