1. مسئله: یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع $$f(x,y,z) = x^2 y + y z^2 - 2 x z$$ در ناحیه $$x^2 + y^2 + z^2 \leq 4$$ و شرط $$x + y + z = 1$$ با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ. 2. روش ضرایب لاگرانژ: برای یافتن نقاط بحرانی تابع با قید، تابع لاگرانژ را تعریف می‌کنیم: $$L(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 4) - \mu (x + y + z - 1)$$ که در آن $$\lambda$$ و $$\mu$$ ضرایب لاگرانژ هستند. 3. مشتقات جزئی را محاسبه و برابر صفر قرار می‌دهیم: $$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 x y - 2 z - 2 \lambda x - \mu = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial y} = x^2 + z^2 - 2 \lambda y - \mu = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial z} = 2 y z - 2 x - 2 \lambda z - \mu = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 + z^2 - 4) = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial \mu} = -(x + y + z - 1) = 0$$ 4. معادلات به صورت سیستم زیر است: $$\begin{cases} 2 x y - 2 z - 2 \lambda x - \mu = 0 \\ x^2 + z^2 - 2 \lambda y - \mu = 0 \\ 2 y z - 2 x - 2 \lambda z - \mu = 0 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 4 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ 5. این سیستم را حل می‌کنیم. ابتدا معادله سوم را برای $$\mu$$ بنویسیم: $$\mu = 2 x y - 2 z - 2 \lambda x$$ و معادله دوم: $$x^2 + z^2 - 2 \lambda y - \mu = 0 \Rightarrow \mu = x^2 + z^2 - 2 \lambda y$$ با برابر قرار دادن دو مقدار $$\mu$$: $$2 x y - 2 z - 2 \lambda x = x^2 + z^2 - 2 \lambda y$$ 6. معادله چهارم و پنجم را داریم که محدودیت‌ها هستند. با جایگذاری و حل سیستم، نقاط بحرانی به دست می‌آیند. این حل شامل جستجوی مقادیر $$x,y,z,\lambda,\mu$$ است که معادلات را ارضا کنند. 7. پس از یافتن نقاط بحرانی، مقدار تابع $$f(x,y,z)$$ را در آن نقاط محاسبه می‌کنیم تا ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنیم. نتیجه نهایی: مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع $$f$$ تحت شرایط داده شده با حل سیستم فوق به دست می‌آید.