1. **Enunciado do problema:** Considere as funções $$F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y,z) = (x + y + z - 9, x + 2y + 3z - 20)$$ $$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},\quad f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$$ Seja $$M := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : F(x,y,z) = (0,0)\}$$ 2. **Parte a) Pontos de M onde $DF$ tem característica máxima:** A matriz derivada de $F$ é $$DF(x,y,z) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$$ Esta matriz é constante e tem posto máximo 2 em todos os pontos de $\mathbb{R}^3$. 3. **Parte b) Justificação do mínimo e máximo de $f$ em $M$:** - A função $f(x,y,z)$ é o quadrado da distância do ponto $(x,y,z)$ à origem. - O conjunto $M$ é uma reta no espaço, pois é a interseção de dois planos. - Como $M$ é uma reta que não é limitada, $f$ não é limitada superiormente em $M$, logo não atinge máximo. - Por ser contínua, $f$ atinge mínimo em $M$ devido ao Teorema de Weierstrass aplicado à interseção de $M$ com uma bola fechada centrada na origem. 4. **Parte c) Determinação do mínimo de $f$ em $M$ pelo método dos multiplicadores de Lagrange:** - Defina $F_1(x,y,z) = x + y + z - 9$ e $F_2(x,y,z) = x + 2y + 3z - 20$. - O sistema de Lagrange é $$\nabla f = \lambda_1 \nabla F_1 + \lambda_2 \nabla F_2$$ com as restrições $F_1 = 0$ e $F_2 = 0$. - Calculando os gradientes: $$\nabla f = (2x, 2y, 2z), \quad \nabla F_1 = (1,1,1), \quad \nabla F_2 = (1,2,3)$$ - O sistema fica: $$\begin{cases} 2x = \lambda_1 + \lambda_2 \\ 2y = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ 2z = \lambda_1 + 3\lambda_2 \\ x + y + z = 9 \\ x + 2y + 3z = 20 \end{cases}$$ - Substituindo as três primeiras equações nas duas últimas: $$\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = 6 \\ 3\lambda_1 + 7\lambda_2 = 20 \end{cases}$$ - Resolvendo o sistema: Multiplicando a primeira por 3: $$3\lambda_1 + 6\lambda_2 = 18$$ Subtraindo da segunda: $$3\lambda_1 + 7\lambda_2 - (3\lambda_1 + 6\lambda_2) = 20 - 18 \Rightarrow \lambda_2 = 2$$ Substituindo em $\lambda_1 + 2\lambda_2 = 6$: $$\lambda_1 + 4 = 6 \Rightarrow \lambda_1 = 2$$ - Calculando $(x,y,z)$: $$2x = 2 + 2 = 4 \Rightarrow x = 2$$ $$2y = 2 + 4 = 6 \Rightarrow y = 3$$ $$2z = 2 + 6 = 8 \Rightarrow z = 4$$ - Portanto, o ponto que minimiza $f$ em $M$ é $(2,3,4)$. - O valor mínimo é: $$f(2,3,4) = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29$$