1. Planteamos el problema: Verificar que la función $z = f(x,y) = e^x \sin y$ satisface la ecuación de Laplace $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0.$$\n\n2. Recordemos que la ecuación de Laplace en dos variables es $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0,$$ donde debemos calcular las segundas derivadas parciales de $z$ respecto a $x$ y $y$.\n\n3. Calculamos la primera derivada parcial respecto a $x$: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x \sin y) = e^x \sin y,$$ porque $\sin y$ es constante respecto a $x$.\n\n4. Calculamos la segunda derivada parcial respecto a $x$: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(e^x \sin y\right) = e^x \sin y.$$\n\n5. Calculamos la primera derivada parcial respecto a $y$: $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x \sin y) = e^x \cos y,$$ porque $e^x$ es constante respecto a $y$.\n\n6. Calculamos la segunda derivada parcial respecto a $y$: $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^x \cos y\right) = -e^x \sin y.$$\n\n7. Sumamos las segundas derivadas parciales para verificar la ecuación de Laplace: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^x \sin y + (-e^x \sin y) = 0.$$\n\n8. Por lo tanto, la función $z = e^x \sin y$ satisface la ecuación de Laplace.\n