1. **Stel het probleem vast:** We willen begrijpen wat de Leibniz-notatie is en hoe je de afgeleide van een functie kunt berekenen en interpreteren. 2. **Wat is Leibniz-notatie?** De afgeleide van een functie $f$ wordt genoteerd als $\frac{df}{dx}$, wat "de verandering van $f$ ten opzichte van $x$" betekent. Dit noemen we het differentiaalquotiënt. 3. **Voorbeeldfunctie:** Beschouw $f(x) = x^3 - x + 1$. De afgeleide in Leibniz-notatie is: $$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x + 1) = 3x^2 - 1$$ 4. **Afgeleide in een punt:** De afgeleide in een specifiek punt $x=a$ schrijf je als: $$\left. \frac{df}{dx} \right|_{x=a}$$ Bijvoorbeeld, voor $x=2$: $$\left. \frac{df}{dx} \right|_{x=2} = 3 \cdot 2^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11$$ 5. **Afgeleide functie:** De afgeleide functie $f'(x)$ geeft de richtingscoëfficiënt (helling) van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in elk punt $x$. 6. **Berekenen van $f'(a)$ met limietdefinitie:** $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Voor $f(x) = x^3 - x + 1$: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(x^3 - x + 1) - (a^3 - a + 1)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{x^3 - a^3 - (x - a)}{x - a}$$ 7. **Gebruik van ontbinding:** $$x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2)$$ Dus: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2) - (x - a)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2 - 1)}{x - a}$$ 8. **Cancelleren van $(x - a)$:** $$= \lim_{x \to a} (x^2 + ax + a^2 - 1)$$ 9. **Invullen van $x = a$ in de limiet:** $$= a^2 + a \cdot a + a^2 - 1 = 3a^2 - 1$$ 10. **Conclusie:** De afgeleide functie is: $$f'(x) = 3x^2 - 1$$ 11. **Voorbeelden van afgeleide waarden:** - $f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$ - $f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 1 = -1$ - $f'(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 3 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - 1 = 3 \cdot \frac{3}{9} - 1 = 1 - 1 = 0$ Deze waarden geven de helling van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in die punten aan.