1. نبدأ بحساب قيمة النهاية $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 9}{\sqrt[3]{3x} - 3}$$. 2. نلاحظ أن التعويض المباشر يعطي \frac{27 - 9}{\sqrt[3]{9} - 3} = \frac{18}{\sqrt[3]{9} - 3}، وهو غير محدد بشكل مباشر لأن المقام \sqrt[3]{9} - 3 ليس صفرًا، لذا يمكننا محاولة تبسيط التعبير. 3. نعيد كتابة البسط: $$x^3 - 9 = (x^3 - 27) + 18 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) + 18$$ ولكن هذا لا يساعد كثيرًا، لذا نركز على المقام. 4. نستخدم تعويض جديد: لنفرض $$t = \sqrt[3]{3x}$$، إذن $$t^3 = 3x$$. 5. عندما $$x \to 3$$، فإن $$t^3 = 9$$، إذن $$t \to \sqrt[3]{9}$$. 6. التعبير يصبح: $$\frac{x^3 - 9}{t - 3}$$ مع $$t = \sqrt[3]{3x}$$. 7. نستخدم قاعدة لوبيتال لأن التعبير على شكل \frac{0}{0} عند التعويض المباشر. 8. نحسب مشتقة البسط: $$\frac{d}{dx}(x^3 - 9) = 3x^2$$. 9. نحسب مشتقة المقام: $$\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{3x} - 3) = \frac{d}{dx}((3x)^{1/3}) = \frac{1}{3}(3x)^{-2/3} \times 3 = (3x)^{-2/3}$$. 10. إذن النهاية تساوي: $$\lim_{x \to 3} \frac{3x^2}{(3x)^{-2/3}} = \lim_{x \to 3} 3x^2 \times (3x)^{2/3} = \lim_{x \to 3} 3x^2 \times 3^{2/3} x^{2/3} = 3^{1 + 2/3} \lim_{x \to 3} x^{2 + 2/3}$$. 11. نحسب الأسس: $$3^{1 + 2/3} = 3^{5/3}$$ و $$x^{2 + 2/3} = x^{8/3}$$. 12. بالتعويض: $$3^{5/3} \times 3^{8/3} = 3^{(5/3 + 8/3)} = 3^{13/3}$$. 13. إذن قيمة النهاية هي $$3^{13/3}$$. النتيجة النهائية: $$\boxed{3^{\frac{13}{3}}}$$.