1. مسئله را بیان می‌کنیم: باید حد تابع $$f(x) = x \left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil$$ را وقتی $$x \to 0$$ محاسبه کنیم. 2. تابع شامل قسمت صحیح بالا (سقف) است که برای هر عدد $$y$$، $$\lceil y \rceil$$ کوچکترین عدد صحیح بزرگتر یا مساوی $$y$$ است. 3. وقتی $$x$$ به صفر نزدیک می‌شود، مقدار $$\frac{1}{x}$$ به سمت بی‌نهایت مثبت یا منفی می‌رود بسته به جهت نزدیک شدن. 4. برای $$x > 0$$ کوچک و مثبت، $$\frac{1}{x}$$ عددی بزرگ و مثبت است، پس $$\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil$$ عدد صحیح بزرگی است که کمی بزرگتر یا مساوی $$\frac{1}{x}$$ است. 5. بنابراین برای $$x > 0$$ کوچک: $$f(x) = x \left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1$$ ولی چون $$\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil \geq \frac{1}{x}$$، مقدار دقیق $$f(x)$$ ممکن است کمی بزرگتر از 1 باشد. 6. برای $$x < 0$$ کوچک و منفی، $$\frac{1}{x}$$ عددی بزرگ و منفی است، پس $$\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil$$ کوچکترین عدد صحیح بزرگتر یا مساوی آن است که عددی منفی و بزرگتر یا مساوی $$\frac{1}{x}$$ است. 7. بنابراین برای $$x < 0$$ کوچک: $$f(x) = x \left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil$$ که حاصلضرب دو عدد منفی است و مقدار آن مثبت است. 8. با دقت بیشتر، چون $$\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil$$ عدد صحیح است و $$\frac{1}{x}$$ عددی منفی بزرگ به سمت منفی بی‌نهایت، مقدار $$f(x)$$ برای $$x<0$$ به 1 نزدیک می‌شود ولی ممکن است کمی کمتر یا مساوی 1 باشد. 9. در نتیجه، حد چپ و حد راست تابع $$f(x)$$ وقتی $$x \to 0$$ وجود دارد و برابر 1 است. 10. پس: $$\lim_{x \to 0} x \left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil = 1$$