1. مسئله: حد تابع $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}$$ را پیدا کنید. 2. فرمول و قانون: این نوع حدها که به صورت $$\frac{0}{0}$$ هستند، می‌توان با ضرب صورت و مخرج در مزدوج صورت حل کرد. 3. حل: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3 - 4}{(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)}$$ 4. ساده‌سازی: $$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$$ --- 1. مسئله: حد تابع $$\lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x - 2}}$$ را پیدا کنید. 2. جایگذاری مستقیم: $$\frac{8 - 8}{\sqrt[3]{8 - 2}} = \frac{0}{\sqrt[3]{6}} = 0$$ 3. پس حد برابر است با 0. --- 1. مسئله: حد تابع $$\lim_{x \to -1} \frac{x + \sqrt{x + 2}}{x^3 + 1}$$ را پیدا کنید. 2. جایگذاری مستقیم: صورت: $$-1 + \sqrt{-1 + 2} = -1 + 1 = 0$$ مخرج: $$(-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$$ 3. حالت نامعین $$\frac{0}{0}$$ داریم، پس مخرج را فاکتور می‌کنیم: $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ 4. صورت را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم: $$x + \sqrt{x + 2} = (x + 1) + (\sqrt{x + 2} - 1)$$ 5. حد را به صورت زیر می‌نویسیم: $$\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1) + (\sqrt{x + 2} - 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} + \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$$ 6. بخش اول: $$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$$ 7. بخش دوم: برای حد دوم، صورت را مزدوج می‌کنیم: $$\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 2} + 1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{x + 2 - 1}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} + 1)} = \frac{x + 1}{(x + 1)(\sqrt{x + 2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1}$$ 8. پس حد دوم: $$\lim_{x \to -1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}$$ 9. جمع دو حد: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ --- 1. مسئله: حد تابع $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 - x} - 1}{\sqrt{1 + x} - 1}$$ را پیدا کنید. 2. جایگذاری مستقیم: صورت: $$\sqrt[3]{1 - 0} - 1 = 1 - 1 = 0$$ مخرج: $$\sqrt{1 + 0} - 1 = 1 - 1 = 0$$ 3. حالت نامعین $$\frac{0}{0}$$ داریم، پس صورت و مخرج را مزدوج می‌کنیم یا از قاعده لوپیتال استفاده می‌کنیم. 4. مشتق صورت: $$\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{1 - x} - 1) = \frac{d}{dx} (1 - x)^{1/3} = \frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3(1 - x)^{2/3}}$$ 5. مشتق مخرج: $$\frac{d}{dx} (\sqrt{1 + x} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}}$$ 6. حد با قاعده لوپیتال: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{3(1 - x)^{2/3}}}{\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{3(1 - x)^{2/3}} \cdot \frac{2\sqrt{1 + x}}{1} = -\frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x}}{(1 - x)^{2/3}}$$ 7. جایگذاری مستقیم: $$-\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{2/3}} = -\frac{2}{3}$$ --- 1. مسئله: حد تابع $$\lim_{x \to 2^-} \frac{|x^3 - 8|}{x - \sqrt{2x}}$$ را پیدا کنید. 2. توجه: $$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$ 3. چون $$x \to 2^-$$ یعنی از چپ به 2 نزدیک می‌شویم، $$x < 2$$ پس $$x^3 - 8 < 0$$ و مقدار قدر مطلق برابر است با: $$|x^3 - 8| = -(x^3 - 8) = 8 - x^3$$ 4. پس حد به صورت زیر است: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{8 - x^3}{x - \sqrt{2x}}$$ 5. جایگذاری مستقیم: صورت: $$8 - 8 = 0$$ مخرج: $$2 - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0$$ 6. حالت نامعین $$\frac{0}{0}$$ داریم، پس مخرج را ساده می‌کنیم: $$x - \sqrt{2x} = \frac{(x - \sqrt{2x})(x + \sqrt{2x})}{x + \sqrt{2x}} = \frac{x^2 - 2x}{x + \sqrt{2x}} = \frac{x(x - 2)}{x + \sqrt{2x}}$$ 7. صورت را بازنویسی می‌کنیم: $$8 - x^3 = (2^3 - x^3) = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$$ 8. حد به صورت زیر است: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{(2 - x)(4 + 2x + x^2)}{\frac{x(x - 2)}{x + \sqrt{2x}}} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(2 - x)(4 + 2x + x^2)(x + \sqrt{2x})}{x(x - 2)}$$ 9. توجه کنید که $$2 - x = -(x - 2)$$ پس: $$= \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)(4 + 2x + x^2)(x + \sqrt{2x})}{x(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -\frac{(x - 2)(4 + 2x + x^2)(x + \sqrt{2x})}{x(x - 2)}$$ 10. ساده‌سازی: $$= \lim_{x \to 2^-} -\frac{(4 + 2x + x^2)(x + \sqrt{2x})}{x}$$ 11. جایگذاری مستقیم: $$-\frac{(4 + 4 + 4)(2 + 2)}{2} = -\frac{12 \times 4}{2} = -\frac{48}{2} = -24$$