1. مسئله: بررسی وجود حد تابع $$f(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$$ در نقطه $$(0,0)$$. 2. فرمول و نکات مهم: برای بررسی حد تابع دو متغیره در نقطه‌ای، باید حد تابع را از مسیرهای مختلف به آن نقطه بررسی کنیم. اگر حدها از مسیرهای مختلف برابر باشند، حد وجود دارد و برابر آن مقدار است؛ در غیر این صورت حد وجود ندارد. 3. مسیر اول: مسیر $y=0$ $$f(x,0) = \frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = \frac{x^2}{x^2} = 1$$ حد وقتی $x \to 0$ است: $$\lim_{x \to 0} f(x,0) = 1$$ 4. مسیر دوم: مسیر $x=0$ $$f(0,y) = \frac{0 - y^2}{0 + y^2} = \frac{-y^2}{y^2} = -1$$ حد وقتی $y \to 0$ است: $$\lim_{y \to 0} f(0,y) = -1$$ 5. چون حد تابع در نقطه $$(0,0)$$ از مسیرهای مختلف متفاوت است (1 و -1)، پس حد تابع در این نقطه وجود ندارد. پاسخ نهایی: حد تابع $$f(x,y)$$ در نقطه $$(0,0)$$ وجود ندارد.