1. مسئله: محاسبه حد توابع سینوس و کسینوس زمانی که داخل جز صحیح (floor) قرار دارند. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - تابع سینوس و کسینوس هر دو پیوسته و نوسانی هستند و مقدارشان بین -1 و 1 است. - تابع جز صحیح \( \lfloor x \rfloor \) عدد صحیح بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی \( x \) را برمی‌گرداند. - برای محاسبه حد توابعی که داخل جز صحیح هستند، ابتدا باید رفتار جز صحیح را در نقطه مورد نظر بررسی کنیم. 3. مراحل حل: - فرض کنید می‌خواهیم حد \( \lim_{x \to a} \sin(\lfloor x \rfloor) \) را محاسبه کنیم. - چون \( \lfloor x \rfloor \) در نزدیکی \( a \) ثابت است مگر اینکه \( a \) عدد صحیح باشد. - اگر \( a \) عدد صحیح نباشد، \( \lfloor x \rfloor \) در نزدیکی \( a \) مقدار ثابتی دارد و می‌توان حد را به صورت \( \sin(\lfloor a \rfloor) \) محاسبه کرد. - اگر \( a \) عدد صحیح باشد، باید حد چپ و حد راست را جداگانه بررسی کنیم چون \( \lfloor x \rfloor \) در این نقطه ناپیوسته است. 4. مثال: - محاسبه \( \lim_{x \to 2} \sin(\lfloor x \rfloor) \) - حد چپ: وقتی \( x \to 2^- \)، \( \lfloor x \rfloor = 1 \) پس حد چپ برابر است با \( \sin(1) \) - حد راست: وقتی \( x \to 2^+ \)، \( \lfloor x \rfloor = 2 \) پس حد راست برابر است با \( \sin(2) \) - چون حد چپ و راست برابر نیستند، حد کلی وجود ندارد. 5. نکته: - همین روش برای کسینوس نیز صدق می‌کند. نتیجه: برای محاسبه حد توابع سینوس و کسینوس داخل جز صحیح، ابتدا مقدار جز صحیح را در نزدیکی نقطه حد بررسی کنید و سپس حد چپ و راست را جداگانه محاسبه کنید تا ببینید حد کلی وجود دارد یا خیر.