1. مسئله: حد راست و چپ تابع قطعه‌ای داده شده را وقتی که $x$ به عدد 2 میل می‌کند، پیدا کنیم. تابع به صورت زیر تعریف شده است: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x + y}{x - 1} & x > y \\ x^w + y & x < y \end{cases}$$ 2. برای یافتن حد راست و چپ در نقطه $x=2$، باید بررسی کنیم که در اطراف 2 کدام شاخه تابع اعمال می‌شود. چون $y$ و $w$ پارامترهایی هستند که مقدارشان مشخص نیست، فرض می‌کنیم $y$ مقداری ثابت است. 3. حد راست تابع در $x=2$ یعنی: $$\lim_{x \to 2^+} f(x)$$ در این حالت چون $x > 2$, اگر $2 > y$ باشد، از شاخه اول استفاده می‌کنیم: $$\lim_{x \to 2^+} \frac{x + y}{x - 1} = \frac{2 + y}{2 - 1} = 2 + y$$ 4. حد چپ تابع در $x=2$ یعنی: $$\lim_{x \to 2^-} f(x)$$ در این حالت چون $x < 2$, اگر $2 < y$ باشد، از شاخه دوم استفاده می‌کنیم: $$\lim_{x \to 2^-} x^w + y = 2^w + y$$ 5. بنابراین: - حد راست تابع در $x=2$ برابر است با $2 + y$ اگر $2 > y$. - حد چپ تابع در $x=2$ برابر است با $2^w + y$ اگر $2 < y$. 6. اگر $y=2$ باشد، تابع در نقطه $x=2$ تعریف نشده یا باید شرایط خاص بررسی شود. نتیجه نهایی: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 + y$$ $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^w + y$$