1. **مسئله اول:** حد $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{3x - 5 - 2}$$ را بیابید. فرمول: برای یافتن حد کسرها، ابتدا صورت و مخرج را ساده می‌کنیم و اگر مقدار در مخرج صفر شد، از روش‌های دیگر مانند تجزیه استفاده می‌کنیم. صورت: $$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$ مخرج: $$3x - 5 - 2 = 3x - 7$$ جایگذاری مستقیم $$x=3$$: صورت: $$(3-3)(3+3) = 0$$ مخرج: $$3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$$ پس حد برابر است با: $$\frac{0}{2} = 0$$ 2. **مسئله دوم:** حد $$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos 2x}{x \sin x}$$ را بیابید. فرمول: برای حدهایی که به صورت $$\frac{0}{0}$$ هستند، از قاعده لُپیتال یا تقریب‌های مثلثاتی استفاده می‌کنیم. ابتدا جایگذاری مستقیم: صورت: $$2 - 2\cos 0 = 2 - 2(1) = 0$$ مخرج: $$0 \times \sin 0 = 0$$ پس شکل نامعین $$\frac{0}{0}$$ است. استفاده از قاعده لُپیتال: مشتق صورت: $$\frac{d}{dx}(2 - 2\cos 2x) = 4\sin 2x$$ مشتق مخرج: $$\frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$$ جایگذاری $$x=0$$: صورت مشتق: $$4 \sin 0 = 0$$ مخرج مشتق: $$\sin 0 + 0 \times \cos 0 = 0$$ باز هم شکل نامعین داریم، پس دوباره قاعده لُپیتال را اعمال می‌کنیم. مشتق دوم صورت: $$\frac{d}{dx}(4 \sin 2x) = 8 \cos 2x$$ مشتق دوم مخرج: $$\frac{d}{dx}(\sin x + x \cos x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$$ جایگذاری $$x=0$$: صورت: $$8 \cos 0 = 8$$ مخرج: $$2 \cos 0 - 0 = 2$$ پس حد برابر است با: $$\frac{8}{2} = 4$$ 3. **مسئله سوم:** تابع تکه‌ای $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} & x > 1 \\ b - 1 & x = 1 \\ x - 2a & x < 1 \end{cases}$$ برای پیوستگی در $$x=1$$ باید حد چپ و راست برابر مقدار تابع در آن نقطه باشد. حد راست $$x \to 1^+$$: $$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x-1}}{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x-1}} = +\infty$$ پس حد راست وجود ندارد و بی‌نهایت است. حد چپ $$x \to 1^-$$: $$\lim_{x \to 1^-} x - 2a = 1 - 2a$$ برای پیوستگی باید: $$b - 1 = 1 - 2a$$ اما چون حد راست بی‌نهایت است، تابع در $$x=1$$ پیوسته نیست مگر اینکه تعریف تابع در $$x>1$$ تغییر کند. **نتیجه:** تابع در $$x=1$$ پیوسته نیست مگر تعریف تابع در $$x>1$$ اصلاح شود. --- **خلاصه پاسخ‌ها:** 1. $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{3x - 5 - 2} = 0$$ 2. $$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos 2x}{x \sin x} = 4$$ 3. تابع $$f(x)$$ در $$x=1$$ پیوسته نیست مگر تعریف تابع در $$x>1$$ تغییر کند.