1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا دالة قطعة معرفة كالتالي: $$f(x) = \begin{cases} ax^2 - 2 & x \geq 2 \\ 3x & x < 2 \end{cases}$$ ونريد إيجاد قيمة $a$ بحيث تكون $\lim_{x \to 2} f(x) = 6$. 2. القاعدة الأساسية لاستمرارية الدالة عند نقطة هي أن يكون الحد الأيسر والحد الأيمن عند تلك النقطة متساويين، أي: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ 3. نحسب الحد الأيسر: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 3x = 3 \times 2 = 6$$ 4. نحسب الحد الأيمن: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax^2 - 2) = a \times 2^2 - 2 = 4a - 2$$ 5. بما أن الحدين متساويين ويعطون القيمة 6، نساويهم: $$4a - 2 = 6$$ 6. نحل المعادلة لإيجاد $a$: $$4a - 2 = 6$$ $$4a = 6 + 2$$ $$4a = 8$$ $$a = \frac{8}{4}$$ $$a = 2$$ 7. إذن قيمة $a$ هي 2. الجواب النهائي: $a = 2$.