1. 문제: $\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + 1)(ax + b)}{x^4 - 1} = 2$를 만족시키는 실수 $a$, $b$를 구하시오. 2. 문제를 이해하기 위해 분모와 분자를 살펴봅니다. 분모: $$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2 + 1)$$ 분자: $$(x^2 + 1)(ax + b)$$ 3. $x \to 1$일 때 분모가 0이 되므로 분자도 0이 되어야 극한이 존재합니다. 따라서, $$ (1^2 + 1)(a \cdot 1 + b) = 0 \Rightarrow 2(a + b) = 0 \Rightarrow a + b = 0 $$ 4. 극한식을 분자와 분모에서 $(x-1)$을 약분하기 위해 분자와 분모를 $(x-1)$로 나누어 봅니다. 분모에서 $(x-1)$을 약분하면 남는 것은 $$(x+1)(x^2 + 1)$$ 분자에서 $(x-1)$로 나누기 위해 분자를 전개하고 미분법을 이용하거나 인수분해를 시도합니다. 5. 분자 함수: $$g(x) = (x^2 + 1)(ax + b)$$ $g(1) = 0$이므로 $g(x)$는 $(x-1)$을 인수로 가집니다. 6. $g(x)$를 미분하여 $g'(1)$을 구합니다. $$g'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2 + 1)(ax + b)] = 2x(ax + b) + (x^2 + 1)a = 2ax^2 + 2bx + a x^2 + a = (2a + a) x^2 + 2bx + a = 3a x^2 + 2b x + a$$ 따라서, $$g'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + a = 3a + 2b + a = 4a + 2b$$ 7. 분모 함수: $$h(x) = x^4 - 1$$ $$h'(x) = 4x^3$$ $$h'(1) = 4(1)^3 = 4$$ 8. 극한은 다음과 같이 표현됩니다. $$\lim_{x \to 1} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(1)}{h'(1)} = \frac{4a + 2b}{4} = 2$$ 9. 식을 정리하면, $$4a + 2b = 8$$ 10. 앞서 구한 $a + b = 0$과 함께 연립방정식을 풉니다. $$a + b = 0 \Rightarrow b = -a$$ $$4a + 2b = 8 \Rightarrow 4a + 2(-a) = 8 \Rightarrow 4a - 2a = 8 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4$$ $$b = -4$$ 최종 답: $a = 4$, $b = -4$