1. Planteamos el problema: Calcular el límite $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$ (j) y $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x}{1 - \cos x}$ (f) usando la regla de L'Hôpital. 2. Recordemos que la regla de L'Hôpital se aplica cuando el límite da una forma indeterminada $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Consiste en derivar numerador y denominador por separado y luego calcular el límite. --- ### Para (j) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$: 3. Evaluamos directamente: $$\lim_{x \to 0} (x - \sin x) = 0 - 0 = 0$$ $$\lim_{x \to 0} (x \sin x) = 0 \cdot 0 = 0$$ Forma indeterminada $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital. 4. Derivamos numerador y denominador: Numerador: $\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$ Denominador: $\frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$ (producto) 5. Calculamos el límite de la nueva fracción: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x}$$ 6. Evaluamos directamente: Numerador: $1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$ Denominador: $\sin 0 + 0 \cdot \cos 0 = 0 + 0 = 0$ Indeterminación $\frac{0}{0}$ de nuevo, aplicamos L'Hôpital otra vez. 7. Derivamos nuevamente: Numerador: $\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$ Denominador: $\frac{d}{dx}(\sin x + x \cos x) = \cos x + (\cos x - x \sin x) = 2 \cos x - x \sin x$ 8. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \cos x - x \sin x}$$ 9. Evaluamos directamente: Numerador: $\sin 0 = 0$ Denominador: $2 \cdot 1 - 0 = 2$ Límite es $\frac{0}{2} = 0$. --- ### Para (f) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x}{1 - \cos x}$: 10. Evaluamos directamente: Numerador: $e^0 - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ Denominador: $1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$ No es indeterminación $\frac{1}{0}$ sino una división por cero, el límite tiende a infinito o no existe. 11. Para confirmar, evaluamos límites laterales: - Cuando $x \to 0^+$, $1 - \cos x > 0$ pequeño positivo, numerador cerca de 1, entonces $\to +\infty$. - Cuando $x \to 0^-$, $1 - \cos x > 0$ también, numerador cerca de 1, entonces $\to +\infty$. 12. Por lo tanto, el límite es $+\infty$. --- **Respuestas finales:** - (j) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = 0$ - (f) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x}{1 - \cos x} = +\infty$