1. We beginnen met het probleem: uitleggen van het principe van lineariteit van de bepaalde integraal. 2. Het principe van lineariteit zegt dat voor functies $f$ en $g$ en constante $a$ en $b$ geldt: $$\int_a^b (c f(x) + d g(x)) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx + d \int_a^b g(x) \, dx$$ Dit betekent dat integreren distributief is over optelling en constanten uit de integraal gehaald kunnen worden. 3. In de oefening zien we bijvoorbeeld: $$3 \int_0^1 3 \, dx = 3 \times \int_0^1 3 \, dx$$ Hier is de constante 3 buiten de integraal gehaald. 4. Bereken eerst de integraal zonder de constante: $$\int_0^1 3 \, dx = 3x \Big|_0^1 = 3(1) - 3(0) = 3$$ 5. Vermenigvuldig daarna met de constante buiten de integraal: $$3 \times 3 = 9$$ 6. Dit illustreert dat de constante factor uit de integraal gehaald kan worden en dat de integraal lineair is. 7. Verder wordt in de oefening ook een som van integralen getoond, wat betekent: $$\int_0^1 (f(x) + g(x)) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx + \int_0^1 g(x) \, dx$$ 8. Dit toont de additiviteit van de integraal aan, een ander aspect van lineariteit. 9. Samengevat: de lineaire eigenschap van de bepaalde integraal maakt het mogelijk om constanten buiten de integraal te halen en integralen van sommen op te splitsen in sommen van integralen. 10. Dit vereenvoudigt het berekenen van integralen aanzienlijk en is een fundamenteel principe in calculus.