1. Diberikan fungsi kuadratik $$f(x) = -x^{2} + (c - b)x - bc$$ dengan nilai $a=9$, $b=7$, dan $c=1$ dari NIM 179. 2. Kita diminta menghitung luas daerah di bawah kurva $f(x)$ pada interval dari $-a$ sampai $b+c$. 3. Rumus luas daerah di bawah kurva dari $x=m$ sampai $x=n$ adalah $$\text{Luas} = \int_{m}^{n} f(x) \, dx$$ 4. Substitusi nilai $a=9$, $b=7$, dan $c=1$ ke fungsi: $$f(x) = -x^{2} + (1 - 7)x - 7 \times 1 = -x^{2} - 6x - 7$$ 5. Batas integrasi adalah dari $-a = -9$ sampai $b+c = 7 + 1 = 8$. 6. Hitung integral: $$\int_{-9}^{8} (-x^{2} - 6x - 7) \, dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} - 3x^{2} - 7x \right]_{-9}^{8}$$ 7. Evaluasi batas atas $x=8$: $$-\frac{8^{3}}{3} - 3 \times 8^{2} - 7 \times 8 = -\frac{512}{3} - 192 - 56 = -\frac{512}{3} - 248$$ 8. Evaluasi batas bawah $x=-9$: $$-\frac{(-9)^{3}}{3} - 3 \times (-9)^{2} - 7 \times (-9) = -\frac{-729}{3} - 3 \times 81 + 63 = 243 - 243 + 63 = 63$$ 9. Selisih nilai integral: $$\left(-\frac{512}{3} - 248\right) - 63 = -\frac{512}{3} - 311 = -\frac{512}{3} - \frac{933}{3} = -\frac{1445}{3}$$ 10. Karena luas adalah nilai positif, maka luas daerah adalah: $$\text{Luas} = \frac{1445}{3} \approx 481.67$$ 11. Selanjutnya, hitung volume benda putar yang diperoleh jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu $y$. 12. Volume benda putar terhadap sumbu $y$ untuk fungsi $y=f(x)$ dari $x=m$ sampai $x=n$ adalah: $$V = \pi \int_{m}^{n} [f(x)]^{2} \, dx$$ 13. Jadi: $$V = \pi \int_{-9}^{8} (-x^{2} - 6x - 7)^{2} \, dx$$ 14. Kembangkan kuadrat: $$(-x^{2} - 6x - 7)^{2} = (x^{2} + 6x + 7)^{2} = x^{4} + 12x^{3} + 58x^{2} + 84x + 49$$ 15. Hitung integral: $$\int_{-9}^{8} (x^{4} + 12x^{3} + 58x^{2} + 84x + 49) \, dx = \left[ \frac{x^{5}}{5} + 3x^{4} + \frac{58x^{3}}{3} + 42x^{2} + 49x \right]_{-9}^{8}$$ 16. Evaluasi batas atas $x=8$: $$\frac{8^{5}}{5} + 3 \times 8^{4} + \frac{58 \times 8^{3}}{3} + 42 \times 8^{2} + 49 \times 8 = \frac{32768}{5} + 3 \times 4096 + \frac{58 \times 512}{3} + 42 \times 64 + 392$$ $$= 6553.6 + 12288 + 9898.13 + 2688 + 392 = 31619.73$$ 17. Evaluasi batas bawah $x=-9$: $$\frac{(-9)^{5}}{5} + 3 \times (-9)^{4} + \frac{58 \times (-9)^{3}}{3} + 42 \times (-9)^{2} + 49 \times (-9)$$ $$= \frac{-59049}{5} + 3 \times 6561 - \frac{58 \times 729}{3} + 42 \times 81 - 441$$ $$= -11809.8 + 19683 - 14094 + 3402 - 441 = -1259.8$$ 18. Selisih integral: $$31619.73 - (-1259.8) = 32879.53$$ 19. Volume benda putar: $$V = \pi \times 32879.53 \approx 103260.5$$ Jawaban: - Luas daerah: $$\frac{1445}{3} \approx 481.67$$ - Volume benda putar: $$\approx 103260.5$$