1. Задача: Найти максимум функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ на некотором интервале. 2. Формула для нахождения экстремумов: необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю, то есть решить уравнение $f'(x) = 0$. 3. Найдём производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 12x$$ 4. Приравниваем производную к нулю: $$3x^2 - 12x = 0$$ 5. Вынесем общий множитель за скобки: $$3x(x - 4) = 0$$ 6. Решаем уравнение: $$3x = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$$ 7. Чтобы определить, является ли точка максимумом, найдём вторую производную: $$f''(x) = 6x - 12$$ 8. Подставим найденные критические точки в $f''(x)$: - Для $x=0$: $$f''(0) = 6\cdot0 - 12 = -12 < 0$$, значит в точке $x=0$ функция имеет максимум. - Для $x=4$: $$f''(4) = 6\cdot4 - 12 = 24 - 12 = 12 > 0$$, значит в точке $x=4$ функция имеет минимум. 9. Найдём значение функции в точке максимума $x=0$: $$f(0) = 0^3 - 6\cdot0^2 = 0$$ 10. Ответ: максимум функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ равен $0$ и достигается при $x=0$.