1. **مشكلة:** حساب قيمة ب التي تحقق شروط مبرهنة القيمة المتوسطة للدالة (رس) = س + س جـاس على الفترة [0 ، ب] حيث د ج = \frac{\pi}{2}. 2. **مبرهنة القيمة المتوسطة:** تنص على أنه إذا كانت الدالة (رس) مستمرة على الفترة المغلقة [أ ، ب] وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة (أ ، ب)، فهناك نقطة جـ في (أ ، ب) بحيث: $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ 3. **تطبيق المبرهنة:** - الدالة: $$ f(x) = x + x \sin x $$ - المشتقة: $$ f'(x) = 1 + \sin x + x \cos x $$ 4. نحسب متوسط التغير على الفترة [0 ، ب]: $$ \frac{f(b) - f(0)}{b - 0} = \frac{b + b \sin b - 0}{b} = 1 + \sin b $$ 5. حسب المبرهنة، يجب أن يكون هناك نقطة جـ حيث: $$ f'(c) = 1 + \sin b $$ 6. المعطى أن د ج = \frac{\pi}{2}، إذن نضع: $$ c = \frac{\pi}{2} $$ 7. نحسب المشتقة عند \frac{\pi}{2}: $$ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 1 + \frac{\pi}{2} \times 0 = 2 $$ 8. إذن: $$ 1 + \sin b = 2 \Rightarrow \sin b = 1 $$ 9. الحل: $$ b = \frac{\pi}{2} $$ **النتيجة:** قيمة ب التي تحقق شروط مبرهنة القيمة المتوسطة هي $$ \frac{\pi}{2} $$.