1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا منحنى د(س) ونريد تحديد الفترات التي تكون فيها د'(س) تزايدية والفترات التي تكون فيها د(س) تزايدية. 2. لفهم د'(س) تزايدية، نعلم أن د'(س) هي مشتقة د(س)، وكون د'(س) تزايدية يعني أن المشتقة الثانية د''(س) موجبة في تلك الفترة. 3. بما أن المنحنى هو قطع مكافئ يفتح للأعلى، فإن د''(س) ثابت وموجب (لأن القطع المكافئ للأعلى يعني أن د''(س) > 0 دائماً). 4. إذن، د'(س) تزايدية في كل مجال د(س) لأن د''(س) > 0. 5. بالنسبة للفترات المعطاة: - الخيار ١: ]٤، ∞[ - الخيار ٢: ]٤، ٣[ - الخيار ٣: ]١، ١[ - الخيار ٤: ]١، ٣[ 6. بما أن د'(س) تزايدية في كل مكان، نختار الفترة التي تمثل جزءاً من المجال حيث د'(س) تزايدية، وهي الخيار ١: ]٤، ∞[ 7. الآن ننتقل إلى د(س) تزايدية، وهي تعني أن د'(س) > 0 في تلك الفترة. 8. بما أن د(س) قطع مكافئ للأعلى، فإن د'(س) = 0 عند الرأس (نقطة القمة) وعندها يتغير من سالب إلى موجب. 9. إذاً د(س) تزايدية في الفترة التي تكون فيها د'(س) > 0، وهي بعد الرأس. 10. من الرسم، الرأس عند س بين ٢ و ٣، إذن د(س) تزايدية في الفترة ]٢، ∞[ 11. من الخيارات المعطاة للفترة التزايدية: - الخيار ١: ]٠، ٣[ ∪ ]-∞، ٥[ - الخيار ٢: ]١، ٣[ - الخيار ٣: ]∞، ٣[ - الخيار ٤: ]∞، ٣[ ∪ ]∞، ٣[ 12. الخيار الأقرب هو ٢: ]١، ٣[ ولكن هذا لا يشمل الفترة بعد الرأس. 13. بناءً على الرسم، د(س) تزايدية في الفترة ]٢، ∞[، وهي غير موجودة في الخيارات بدقة. 14. بناءً على المعطيات، الخيار ١ يحتوي على ]٠، ٣[ وهو يشمل جزء من الفترة قبل الرأس، وهذا غير صحيح. 15. إذن، الخيار ٢: ]١، ٣[ هو الأقرب للفترة التي تكون فيها د(س) تزايدية. النتيجة النهائية: - د'(س) تزايدية في الفترة $$]4, \infty[$$ - د(س) تزايدية في الفترة $$]1, 3[$