1. Problème 4 : Coût de fabrication C(x,y) = 2x^2 + 3y^2 + xy 1. Calcul des dérivées partielles premières : $$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y^2 + xy) = 4x + y$$ $$\frac{\partial C}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + 3y^2 + xy) = 6y + x$$ 2. Interprétation physique : La dérivée partielle par rapport à $x$ indique comment le coût change si on augmente la longueur $x$ en gardant $y$ constant. La dérivée partielle par rapport à $y$ indique comment le coût change si on augmente l'épaisseur $y$ en gardant $x$ constant. 3. Calcul de la différentielle totale $dC$ : $$dC = \frac{\partial C}{\partial x} dx + \frac{\partial C}{\partial y} dy = (4x + y) dx + (6y + x) dy$$ 2. Problème 5 : Surface $S(x,y) = xy$ avec $x=10 \pm 0.1$, $y=5 \pm 0.05$ 1. Calcul de la différentielle $dS$ : $$dS = y dx + x dy$$ 2. Estimation de l'erreur sur la surface : $$dS = 5 \times 0.1 + 10 \times 0.05 = 0.5 + 0.5 = 1$$ 3. Comparaison avec $\Delta S$ : $$\Delta S = (10 + 0.1)(5 + 0.05) - 10 \times 5 = 10.1 \times 5.05 - 50 = 51.005 - 50 = 1.005$$ L'erreur estimée $dS=1$ est proche de la variation réelle $\Delta S=1.005$. 3. Problème 6 : Relation $F(T,H) = T^2 + TH + H^2 - 20 = 0$ Calcul de $\frac{dH}{dT}$ par dérivation implicite : $$\frac{\partial F}{\partial T} = 2T + H$$ $$\frac{\partial F}{\partial H} = T + 2H$$ En dérivant $F=0$ par rapport à $T$ : $$\frac{\partial F}{\partial T} + \frac{\partial F}{\partial H} \frac{dH}{dT} = 0 \Rightarrow \frac{dH}{dT} = -\frac{2T + H}{T + 2H}$$ Signification physique : Le signe de $\frac{dH}{dT}$ indique comment l'humidité $H$ varie lorsque la température $T$ change, en maintenant la relation $F=0$. 4. Problème 6 (bis) : Montrer que $$(2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy$$ est une différentielle totale. On cherche une fonction $f(x,y)$ telle que $$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = (2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy$$ On identifie : $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y^2$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2xy$$ Vérifions la condition de Schwarz : $$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^2) = 2x + 2y$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2xy) = 2x + 2y$$ Elles sont égales, donc c'est une différentielle totale. Intégrons $\frac{\partial f}{\partial x}$ par rapport à $x$ : $$f(x,y) = \int (2xy + y^2) dx = x^2 y + x y^2 + g(y)$$ Dérivons par rapport à $y$ : $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2xy + g'(y)$$ Comparé à $x^2 + 2xy$, on a $g'(y) = 0 \Rightarrow g(y) = C$. Donc la fonction associée est : $$f(x,y) = x^2 y + x y^2 + C$$ 5. Problème 7 : Champ vectoriel $\vec{V}(x,y,z) = (x^2, yz, z^2)$ 1. Calcul de la divergence : $$\text{div}(\vec{V}) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(yz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + z + 2z = 2x + 3z$$ 2. Calcul du rotationnel : $$\text{rot}(\vec{V}) = \nabla \times \vec{V} = \left( \frac{\partial z^2}{\partial y} - \frac{\partial yz}{\partial z}, \frac{\partial x^2}{\partial z} - \frac{\partial z^2}{\partial x}, \frac{\partial yz}{\partial x} - \frac{\partial x^2}{\partial y} \right)$$ Calculons chaque composante : $$\frac{\partial z^2}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial yz}{\partial z} = y$$ $$\frac{\partial x^2}{\partial z} = 0, \quad \frac{\partial z^2}{\partial x} = 0$$ $$\frac{\partial yz}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial x^2}{\partial y} = 0$$ Donc : $$\text{rot}(\vec{V}) = (0 - y, 0 - 0, 0 - 0) = (-y, 0, 0)$$ 3. Le champ est-il solénoïdal ou irrotationnel ? - Solénoïdal signifie divergence nulle : ici $2x + 3z$ n'est pas toujours zéro, donc non solénoïdal. - Irrotationnel signifie rotationnel nul : ici $(-y,0,0)$ n'est pas toujours nul, donc non irrotationnel. 6. Problème 8 : Fonction de contrainte $\sigma(x,y,z) = x^2 + y^2 + 2z^2$ 1. Calcul du gradient : $$\nabla \sigma = \left( \frac{\partial \sigma}{\partial x}, \frac{\partial \sigma}{\partial y}, \frac{\partial \sigma}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 4z)$$ 2. Dérivée directionnelle suivant $\vec{u} = (1,1,0)$ (non normalisé) : On normalise $\vec{u}$ : $$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$\hat{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right)$$ La dérivée directionnelle est : $$D_{\hat{u}} \sigma = \nabla \sigma \cdot \hat{u} = 2x \frac{1}{\sqrt{2}} + 2y \frac{1}{\sqrt{2}} + 4z \times 0 = \frac{2x + 2y}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(x + y)$$ 3. Interprétation : La dérivée directionnelle mesure la variation de la contrainte $\sigma$ dans la direction $\vec{u}$. Plus elle est grande, plus $\sigma$ change rapidement dans cette direction.