1. **Stel het probleem vast:** We hebben de functie $$f(x) = 4 + \sqrt{9 - x^2}$$ en het vlakdeel $$V$$ begrensd door de lijn $$y=4$$, de y-as ($$x=0$$) en de grafiek van $$f$$ voor $$x$$ tussen 0 en 3 (randpunt). We willen de inhoud van het omwentelingslichaam berekenen dat ontstaat door $$V$$ om de $$y$$-as te wentelen. 2. **Formule voor inhoud omwentelingslichaam om de y-as:** De inhoud $$V$$ van een omwentelingslichaam om de $$y$$-as wordt gegeven door de schijfmethode: $$ V = \pi \int_{y_{min}}^{y_{max}} [R(y)]^2 \, dy $$ waar $$R(y)$$ de afstand is van de y-as tot de rand van het vlakdeel in $$x$$-richting. 3. **Bepaal de grenzen en de functie in termen van $$y$$:** De grafiek is $$y = 4 + \sqrt{9 - x^2}$$. We herschrijven om $$x$$ uit te drukken in $$y$$: $$ y - 4 = \sqrt{9 - x^2} \\ (y - 4)^2 = 9 - x^2 \\ x^2 = 9 - (y - 4)^2 \\ x = \sqrt{9 - (y - 4)^2} $$ De lijn $$y=4$$ is de ondergrens, en het hoogste punt op de grafiek is bij $$x=0$$: $$ y = 4 + \sqrt{9 - 0} = 4 + 3 = 7 $$ Dus $$y$$ loopt van 4 tot 7. 4. **Bepaal de straal $$R(y)$$:** De straal is de afstand van de y-as tot de grafiek, dus: $$ R(y) = x = \sqrt{9 - (y - 4)^2} $$ 5. **Bereken de inhoud:** $$ V = \pi \int_4^7 \left( \sqrt{9 - (y - 4)^2} \right)^2 dy = \pi \int_4^7 [9 - (y - 4)^2] dy $$ 6. **Los de integraal op:** $$ V = \pi \int_4^7 [9 - (y - 4)^2] dy = \pi \left[ 9y - \frac{(y - 4)^3}{3} \right]_4^7 $$ 7. **Bereken de waarden:** Voor $$y=7$$: $$ 9 \times 7 - \frac{(7 - 4)^3}{3} = 63 - \frac{3^3}{3} = 63 - \frac{27}{3} = 63 - 9 = 54 $$ Voor $$y=4$$: $$ 9 \times 4 - \frac{(4 - 4)^3}{3} = 36 - 0 = 36 $$ 8. **Vul in en bereken:** $$ V = \pi (54 - 36) = 18\pi \approx 56.55 $$ **Antwoord:** De inhoud van het omwentelingslichaam is ongeveer **56.55** (afgerond op twee decimalen).