1. **Stel het probleem vast:** We willen de primitieve (onbepaalde integraal) vinden van de functie $$f(x) = \frac{\arcsin(2x)}{\sqrt{1-4x^2}}$$. 2. **Formule en regels:** We gebruiken integratie door delen, waarbij geldt: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. **Kies functies voor integratie door delen:** - Laat $$u = \arcsin(2x)$$ zodat $$du = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} dx$$ - Laat $$dv = \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} dx$$ 4. **Bereken $$v$$:** We substitueren $$t = 2x$$, dan is $$dt = 2 dx$$, dus $$dx = \frac{dt}{2}$$. De integraal van $$dv$$ wordt: $$v = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \frac{1}{2} \arcsin(t) + C = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$$ 5. **Pas integratie door delen toe:** $$\int \frac{\arcsin(2x)}{\sqrt{1-4x^2}} dx = u v - \int v \, du = \arcsin(2x) \cdot \frac{1}{2} \arcsin(2x) - \int \frac{1}{2} \arcsin(2x) \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} dx$$ 6. **Vereenvoudig:** $$= \frac{1}{2} (\arcsin(2x))^2 - \int \frac{\arcsin(2x)}{\sqrt{1-4x^2}} dx$$ 7. **Herken de oorspronkelijke integraal:** De laatste integraal is dezelfde als de oorspronkelijke, dus: $$I = \int \frac{\arcsin(2x)}{\sqrt{1-4x^2}} dx$$ We hebben: $$I = \frac{1}{2} (\arcsin(2x))^2 - I$$ 8. **Los op voor $$I$$:** $$I + I = \frac{1}{2} (\arcsin(2x))^2$$ $$2I = \frac{1}{2} (\arcsin(2x))^2$$ $$I = \frac{1}{4} (\arcsin(2x))^2 + C$$ **Antwoord:** $$\boxed{\int \frac{\arcsin(2x)}{\sqrt{1-4x^2}} dx = \frac{1}{4} (\arcsin(2x))^2 + C}$$