1. **Stel het probleem vast:** We moeten de primitieve functies (onbepaalde integralen) berekenen van de volgende uitdrukkingen: a) $$\int \cos^2(x) + \cos(x) \, dx$$ b) $$\int \left(\cos^2(x) - 2 \sin^2(x)\right) \, dx$$ 2. **Formules en regels:** - Gebruik de identiteit $$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$ - Gebruik de identiteit $$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ - De integraal van $$\cos(kx)$$ is $$\frac{\sin(kx)}{k} + C$$ 3. **Bereken integraal a:** $$\int \cos^2(x) + \cos(x) \, dx = \int \cos^2(x) \, dx + \int \cos(x) \, dx$$ Vervang $$\cos^2(x)$$: $$= \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx + \int \cos(x) \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx + \int \cos(x) \, dx$$ Integreer elk deel: $$= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + \sin(x) + C$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + \sin(x) + C$$ 4. **Bereken integraal b:** $$\int \left(\cos^2(x) - 2 \sin^2(x)\right) \, dx$$ Vervang $$\cos^2(x)$$ en $$\sin^2(x)$$: $$= \int \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2} - 2 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) \, dx$$ Vereenvoudig binnen de haakjes: $$= \int \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2} - (1 - \cos(2x))\right) \, dx$$ $$= \int \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2} - 1 + \cos(2x)\right) \, dx$$ $$= \int \left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos(2x)\right) \, dx$$ Splits de integraal: $$= \int -\frac{1}{2} \, dx + \int \frac{3}{2} \cos(2x) \, dx$$ Integreer elk deel: $$= -\frac{1}{2} x + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + C$$ $$= -\frac{x}{2} + \frac{3 \sin(2x)}{4} + C$$ **Antwoorden:** - $$\int \cos^2(x) + \cos(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + \sin(x) + C$$ - $$\int \left(\cos^2(x) - 2 \sin^2(x)\right) \, dx = -\frac{x}{2} + \frac{3 \sin(2x)}{4} + C$$