1. **Énoncé du problème** : Trouver une primitive $G$ de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $$g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$$ telle que $G(1) = 0$. 2. **Formule et méthode** : Pour trouver une primitive, on cherche une fonction $G$ telle que $$G'(x) = g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}.$$ 3. **Calcul de la primitive** : Posons $$u = \frac{1}{x}.$$ Alors, $$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}.$$ On remarque que $$g(x) = \frac{e^u}{x^2} = -e^u \cdot \frac{du}{dx}.$$ 4. **Intégration** : $$G(x) = \int g(x) dx = \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx = \int -e^u du = -\int e^u du = -e^u + C = -e^{\frac{1}{x}} + C.$$ 5. **Détermination de la constante $C$** : On impose $G(1) = 0$, donc $$0 = G(1) = -e^{\frac{1}{1}} + C = -e + C \implies C = e.$$ 6. **Solution finale** : $$\boxed{G(x) = e - e^{\frac{1}{x}}}.$$