1. **بيان المسألة:** نُعطى الدالة العددية $f'$ المعرفة ب: $$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$$ على المجال $I = ]-1, +\infty[$. المطلوب: إيجاد الدالة $F$ بحيث تكون مشتقتها $f'$ وتحقق $F(0) = 1$. 2. **صيغة الحل:** الدالة $F$ هي دالة أصلية لـ $f'$, أي: $$F(x) = \int f'(x) \, dx + C = \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx + C$$ حيث $C$ ثابت التكامل. 3. **حساب التكامل:** نُجري تغيير متغير: $t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1$, و$dt = dx$. إذاً: $$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx = \int \frac{t - 1}{\sqrt{t}} \, dt = \int \left(\frac{t}{\sqrt{t}} - \frac{1}{\sqrt{t}}\right) dt = \int (t^{1/2} - t^{-1/2}) dt$$ 4. **حساب التكاملات الجزئية:** $$\int t^{1/2} dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C_1$$ $$\int t^{-1/2} dt = 2 t^{1/2} + C_2$$ 5. **جمع النتائج:** $$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \frac{2}{3} t^{3/2} - 2 t^{1/2} + C = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2 (x+1)^{1/2} + C$$ 6. **تحديد ثابت التكامل $C$ باستخدام الشرط $F(0) = 1$:** $$F(0) = \frac{2}{3} (0+1)^{3/2} - 2 (0+1)^{1/2} + C = \frac{2}{3} - 2 + C = 1$$ $$C = 1 - \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$$ 7. **النتيجة النهائية:** $$F(x) = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2 (x+1)^{1/2} + \frac{7}{3}$$ هذه هي الدالة الأصلية لـ $f'$ على المجال $]-1, +\infty[$ التي تحقق $F(0) = 1$.