1. **Énoncé du problème :** Trouver une primitive de la fonction $f(x) = 3x^2(x^3 + 2)^4$ définie sur $\mathbb{R}$.\n\n2. **Formule et règles importantes :** Pour intégrer une fonction de la forme $f(x) = u'(x)(u(x))^n$, on utilise la substitution $t = u(x)$, ce qui donne $\int u'(x)(u(x))^n dx = \frac{(u(x))^{n+1}}{n+1} + C$ si $n \neq -1$.\n\n3. **Travail intermédiaire :** Ici, posons $u(x) = x^3 + 2$. Alors, $u'(x) = 3x^2$. La fonction s'écrit donc $f(x) = u'(x)(u(x))^4$.\n\n4. **Calcul de la primitive :**\n$$\int f(x) dx = \int 3x^2 (x^3 + 2)^4 dx = \int u'(x) (u(x))^4 dx = \frac{(u(x))^{5}}{5} + C = \frac{(x^3 + 2)^5}{5} + C.$$\n\n5. **Explication simple :** On a reconnu que la fonction est la dérivée d'une fonction composée élevée à une puissance. En utilisant la substitution, on simplifie l'intégrale en une forme facile à intégrer.\n\n**Réponse finale :**\n$$F(x) = \frac{(x^3 + 2)^5}{5} + C.$$