1. Énonçons le problème : calculer la primitive de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+4}$, c'est-à-dire trouver $K = \int \frac{\sqrt{x}}{x+4} \, dx$. 2. Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser la substitution $t = \sqrt{x}$, donc $x = t^2$ et $dx = 2t \, dt$. 3. Remplaçons dans l'intégrale : $$K = \int \frac{t}{t^2 + 4} \cdot 2t \, dt = \int \frac{2t^2}{t^2 + 4} \, dt$$ 4. Simplifions l'intégrande : $$\frac{2t^2}{t^2 + 4} = 2 - \frac{8}{t^2 + 4}$$ 5. L'intégrale devient : $$K = \int \left(2 - \frac{8}{t^2 + 4}\right) dt = \int 2 \, dt - 8 \int \frac{1}{t^2 + 4} \, dt$$ 6. Calculons chaque intégrale séparément : - $\int 2 \, dt = 2t + C_1$ - $\int \frac{1}{t^2 + 4} \, dt = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C_2$ 7. En combinant, on obtient : $$K = 2t - 8 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C = 2t - 4 \arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C$$ 8. Enfin, on remplace $t = \sqrt{x}$ pour revenir à la variable initiale : $$\boxed{K = 2 \sqrt{x} - 4 \arctan\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right) + C}$$ Cette expression est la primitive recherchée.