1. Énonçons le problème : Trouver la primitive $J = \int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 2x + 8}}$. 2. Commençons par simplifier l'expression sous la racine. Complétons le carré pour $-x^2 + 2x + 8$ : $$-x^2 + 2x + 8 = -(x^2 - 2x - 8) = -\left(x^2 - 2x + 1 - 1 - 8\right) = -\left((x-1)^2 - 9\right) = 9 - (x-1)^2$$ 3. Donc l'intégrale devient : $$J = \int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x-1)^2}}$$ 4. Cette forme correspond à l'intégrale standard : $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (x - b)^2}} = \arcsin\left(\frac{x - b}{a}\right) + C$$ avec $a = 3$ et $b = 1$. 5. En appliquant cette formule, on obtient : $$J = \arcsin\left(\frac{x - 1}{3}\right) + C$$ 6. Conclusion : La primitive recherchée est $$\boxed{J = \arcsin\left(\frac{x - 1}{3}\right) + C}$$