1. Énoncé du problème : Trouver les fonctions primitives des fonctions données. 2. Rappel de la formule : La primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \neq -1$. 3. Calcul de la primitive de $f(x) = 2x^5 - 3x^2 - 1$ : $$F(x) = \int (2x^5 - 3x^2 - 1) dx = \int 2x^5 dx - \int 3x^2 dx - \int 1 dx$$ $$= 2 \cdot \frac{x^{6}}{6} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} - x + C = \frac{2}{6}x^{6} - x^{3} - x + C = \frac{1}{3}x^{6} - x^{3} - x + C$$ 4. Calcul de la primitive de $g(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ : $$g(x) = x^{-2} + x^{-\frac{1}{2}}$$ $$G(x) = \int x^{-2} dx + \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}} + C$$ 5. Calcul de la primitive de $h(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}$ : Simplifions d'abord : $$h(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ Posons $u = x^2 + 1$, alors $du = 2x dx$, donc $x dx = \frac{du}{2}$. $$H(x) = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x^2 + 1} + C$$ 6. Calcul de la primitive de $t(x) = 3x^2 (x^3 + 4)^{2025}$ : Posons $u = x^3 + 4$, alors $du = 3x^2 dx$. $$T(x) = \int 3x^2 (x^3 + 4)^{2025} dx = \int u^{2025} du = \frac{u^{2026}}{2026} + C = \frac{(x^3 + 4)^{2026}}{2026} + C$$ 7. Trouver la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 1$ : $$F(x) = \frac{1}{3}x^{6} - x^{3} - x + C$$ Calculons $F(0)$ : $$F(0) = 0 - 0 - 0 + C = C$$ Comme $F(0) = 1$, on a $C = 1$. 8. Donc la primitive cherchée est : $$F(x) = \frac{1}{3}x^{6} - x^{3} - x + 1$$