1. Задачата е да намерим производната на функцията $$f(x) = \frac{\sin x}{x} + (x + 2)^{3x - 1}$$. 2. За да намерим производната на сумата, използваме правилото, че производната на сума е сумата от производните: $$f'(x) = \left(\frac{\sin x}{x}\right)' + \left((x + 2)^{3x - 1}\right)'$$ 3. Първо намираме производната на $$\frac{\sin x}{x}$$. Това е частно, затова използваме правилото за производна на частно: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ където $$u = \sin x$$ и $$v = x$$. 4. Изчисляваме производните: $$u' = \cos x$$ $$v' = 1$$ 5. Прилагаме формулата: $$\left(\frac{\sin x}{x}\right)' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$ 6. Сега намираме производната на $$g(x) = (x + 2)^{3x - 1}$$. Това е функция от вида $$a(x)^{b(x)}$$, затова използваме логаритмично диференциране: 7. Нека $$y = (x + 2)^{3x - 1}$$. Вземаме логаритъм: $$\ln y = (3x - 1) \ln(x + 2)$$ 8. Диференцираме и двете страни спрямо $$x$$: $$\frac{y'}{y} = 3 \ln(x + 2) + (3x - 1) \frac{1}{x + 2}$$ 9. Умножаваме двете страни по $$y$$: $$y' = (x + 2)^{3x - 1} \left(3 \ln(x + 2) + \frac{3x - 1}{x + 2}\right)$$ 10. Събираме двете производни за крайния резултат: $$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} + (x + 2)^{3x - 1} \left(3 \ln(x + 2) + \frac{3x - 1}{x + 2}\right)$$ Това е производната на дадената функция.