1. Ángulo de elevación de un avión Problema: Un avión vuela a 2000 m de altura y pasa sobre un observador. Cinco minutos después, se aleja horizontalmente a 240 m/s. Se pide la rapidez con la que cambia el ángulo de elevación cuando la distancia horizontal es 3000 m. Fórmula: Sea $\theta$ el ángulo de elevación, $x$ la distancia horizontal, y $h=2000$ m la altura constante. $$\tan(\theta) = \frac{h}{x}$$ Diferenciando respecto al tiempo $t$: $$\sec^2(\theta) \frac{d\theta}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}$$ Datos: $h=2000$, $x=3000$, $\frac{dx}{dt}=240$ m/s. Paso intermedio: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2(\theta)$$ Pero $\cos^2(\theta) = \frac{1}{1+\tan^2(\theta)} = \frac{1}{1+(\frac{h}{x})^2} = \frac{1}{1+\frac{h^2}{x^2}} = \frac{x^2}{x^2+h^2}$$ Entonces: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \cdot \frac{x^2}{x^2+h^2} = -\frac{h \frac{dx}{dt}}{x^2+h^2}$$ Sustituyendo valores: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000 \times 240}{3000^2 + 2000^2} = -\frac{480000}{9000000 + 4000000} = -\frac{480000}{13000000} = -0.03692 \text{ rad/s}$$ 2. Ángulo de depresión desde un edificio Problema: Un observador en un edificio de 80 m ve un auto alejarse a 18 m/s. Se pide la rapidez con que cambia el ángulo de depresión cuando el auto está a 60 m. Sea $\phi$ el ángulo de depresión, $x$ la distancia horizontal del auto, $h=80$ m. $$\tan(\phi) = \frac{h}{x}$$ Diferenciando: $$\sec^2(\phi) \frac{d\phi}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}$$ Usando la misma técnica que antes: $$\frac{d\phi}{dt} = -\frac{h \frac{dx}{dt}}{x^2 + h^2}$$ Sustituyendo: $$\frac{d\phi}{dt} = -\frac{80 \times 18}{60^2 + 80^2} = -\frac{1440}{3600 + 6400} = -\frac{1440}{10000} = -0.144 \text{ rad/s}$$ 3. Expansión de una esfera Problema: Radio aumenta a 0.04 cm/s, radio actual 12 cm. Se pide rapidez de cambio del volumen. Volumen de esfera: $$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Derivando: $$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$$ Sustituyendo: $$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (12)^2 (0.04) = 4 \pi \times 144 \times 0.04 = 23.04 \pi \approx 72.34 \text{ cm}^3/\text{s}$$ 4. Seguimiento por radar Problema: Avión a 1500 m altura, distancia horizontal 2500 m, velocidad horizontal 180 m/s. Se pide rapidez de cambio de la distancia entre radar y avión. Sea $z$ la distancia entre radar y avión: $$z = \sqrt{x^2 + h^2}$$ Derivando: $$\frac{dz}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}} \frac{dx}{dt}$$ Sustituyendo: $$\frac{dz}{dt} = \frac{2500}{\sqrt{2500^2 + 1500^2}} \times 180 = \frac{2500}{\sqrt{6250000 + 2250000}} \times 180 = \frac{2500}{\sqrt{8500000}} \times 180$$ $$\sqrt{8500000} \approx 2915.48$$ $$\frac{dz}{dt} = \frac{2500}{2915.48} \times 180 \approx 0.8576 \times 180 = 154.37 \text{ m/s}$$ 5. Globo meteorológico Problema: Globo asciende a 5 m/s y se desplaza horizontalmente a 8 m/s. Se pide rapidez con que cambia la distancia al punto de lanzamiento cuando altura es 120 m y distancia horizontal 160 m. Sea $s$ la distancia: $$s = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Derivando: $$\frac{ds}{dt} = \frac{x}{s} \frac{dx}{dt} + \frac{y}{s} \frac{dy}{dt}$$ Sustituyendo: $$s = \sqrt{160^2 + 120^2} = \sqrt{25600 + 14400} = \sqrt{40000} = 200$$ $$\frac{ds}{dt} = \frac{160}{200} \times 8 + \frac{120}{200} \times 5 = 0.8 \times 8 + 0.6 \times 5 = 6.4 + 3 = 9.4 \text{ m/s}$$