1. Problema: Una piedra cae en un lago y genera ondas circulares que se expanden uniformemente. Queremos determinar la rapidez con la que cambia el área de la onda cuando el radio es 8 m. Fórmula: El área de un círculo es $$A = \pi r^2$$. Derivamos implícitamente respecto al tiempo $t$: $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$ Datos: $\frac{dr}{dt} = 0.60$ m/s, $r = 8$ m. Sustituimos: $$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (8)(0.60) = 9.6 \pi \approx 30.16$$ m²/s. 2. Problema: Tanque cónico invertido con altura 6 m y radio superior 3 m, se llena a razón de 2 m³/min. Queremos la rapidez con la que aumenta la profundidad $h$ cuando $h=4$ m. Volumen de un cono: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ Relación entre $r$ y $h$ por semejanza de triángulos: $$\frac{r}{h} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow r = \frac{h}{2}$$ Sustituimos en volumen: $$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{h^2}{4} h = \frac{\pi}{12} h^3$$ Derivamos respecto a $t$: $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3 h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{4} h^2 \frac{dh}{dt}$$ Datos: $\frac{dV}{dt} = 2$ m³/min, $h=4$ m. Despejamos $\frac{dh}{dt}$: $$2 = \frac{\pi}{4} (4)^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{4} \cdot 16 \frac{dh}{dt} = 4\pi \frac{dh}{dt}$$ $$\Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{2}{4\pi} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159$$ m/min. 3. Problema: Piscina de 12 m de longitud, ancho 5 m, fondo inclinado de 1 m a 3 m. El agua entra a 1.5 m³/min. Queremos la rapidez con que aumenta la profundidad en la parte más profunda cuando es 2 m. Volumen de agua: $$V = \text{área base} \times \text{longitud}$$ Área base es trapezoide con bases 1 m y $h$ (profundidad variable), altura 5 m: $$A = \frac{(1 + h)}{2} \times 5 = \frac{5}{2} (1 + h)$$ Volumen: $$V = A \times 12 = 12 \times \frac{5}{2} (1 + h) = 30 (1 + h)$$ Derivamos: $$\frac{dV}{dt} = 30 \frac{dh}{dt}$$ Datos: $\frac{dV}{dt} = 1.5$ m³/min, $h=2$ m. Despejamos $\frac{dh}{dt}$: $$1.5 = 30 \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{1.5}{30} = 0.05$$ m/min. 4. Problema: Dos trenes parten simultáneamente, uno hacia el norte a 90 km/h y otro hacia el este a 120 km/h. Queremos la rapidez con la que cambia la distancia entre ellos 2 horas después. Sea $x$ la distancia este, $y$ la distancia norte, $z$ la distancia entre trenes. Después de 2 horas: $$x = 120 \times 2 = 240$$ km $$y = 90 \times 2 = 180$$ km Relación: $$z^2 = x^2 + y^2$$ Derivamos: $$2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$$ Simplificamos: $$z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}$$ Velocidades constantes: $$\frac{dx}{dt} = 120, \quad \frac{dy}{dt} = 90$$ Calculamos $z$: $$z = \sqrt{240^2 + 180^2} = \sqrt{57600 + 32400} = \sqrt{90000} = 300$$ km Sustituimos: $$300 \frac{dz}{dt} = 240 \times 120 + 180 \times 90 = 28800 + 16200 = 45000$$ $$\Rightarrow \frac{dz}{dt} = \frac{45000}{300} = 150$$ km/h. 5. Problema: Escalera de 10 m apoyada en pared vertical, base se aleja a 0.50 m/s. Queremos la rapidez con que desciende el extremo superior cuando la base está a 6 m. Sea $x$ la distancia de la base a la pared, $y$ la altura del extremo superior. Relación: $$x^2 + y^2 = 10^2 = 100$$ Derivamos: $$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$$ Simplificamos: $$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$ Datos: $x=6$ m, $\frac{dx}{dt} = 0.50$ m/s. Calculamos $y$: $$y = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ m Despejamos $\frac{dy}{dt}$: $$6 (0.50) + 8 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 3 + 8 \frac{dy}{dt} = 0$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} = -0.375$$ m/s. El signo negativo indica que la altura está disminuyendo. Respuesta final: 1. $\frac{dA}{dt} \approx 30.16$ m²/s 2. $\frac{dh}{dt} \approx 0.159$ m/min 3. $\frac{dh}{dt} = 0.05$ m/min 4. $\frac{dz}{dt} = 150$ km/h 5. $\frac{dy}{dt} = -0.375$ m/s