1. **Énoncé du problème** : Trouver la formule générale pour $s_n$ de la fonction $f(x) = x^2 + 3x + 1$ sur l'intervalle $[0,1]$ en utilisant la somme de Riemann à gauche. 2. **Formule de la somme de Riemann à gauche** : $$s_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{i}{n}\right) \Delta x$$ avec $\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$. 3. **Calcul de $s_n$** : $$s_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left(\left(\frac{i}{n}\right)^2 + 3 \cdot \frac{i}{n} + 1\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{i^2}{n^2} + \frac{3i}{n} + 1\right)$$ 4. **Séparation de la somme** : $$s_n = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} i^2 + \frac{3}{n} \sum_{i=0}^{n-1} i + \sum_{i=0}^{n-1} 1 \right) = \frac{1}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1} i^2 + \frac{3}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} i + \frac{1}{n} \cdot n$$ 5. **Utilisation des formules de sommes classiques** : - $\sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2}$ - $\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ - $\sum_{i=0}^{n-1} 1 = n$ 6. **Substitution dans $s_n$** : $$s_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{3}{n^2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 1$$ 7. **Simplification** : $$s_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} + \frac{3(n-1)}{2n} + 1$$ 8. **Développement et regroupement des termes** : $$\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$$ $$\frac{3(n-1)}{2n} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2n}$$ Donc : $$s_n = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\right) + \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2n}\right) + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 1 - \left(\frac{1}{2n} + \frac{3}{2n}\right) + \frac{1}{6n^2}$$ 9. **Calcul final** : $$s_n = \frac{17}{6} - \frac{2}{n} + \frac{1}{6n^2}$$ --- **Erreur fréquente** : - Ne pas inclure le terme $i=0$ dans les sommes ou confondre les indices de sommation. - Oublier de multiplier par $\Delta x = \frac{1}{n}$ après la somme. - Mal appliquer les formules classiques des sommes $\sum i$ et $\sum i^2$. **Votre erreur probable** est d'avoir mal indexé la somme (par exemple commencer à $i=1$ au lieu de $i=0$) ou d'avoir oublié de multiplier par $\frac{1}{n}$ à la fin. **Conclusion** : La formule correcte pour $s_n$ est $$s_n = \frac{17}{6} - \frac{2}{n} + \frac{1}{6n^2}$$ Cela correspond à la correction du professeur. Vérifiez bien vos indices et la multiplication par $\Delta x$.