1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$F(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}$$ ونريد إيجاد قيمة $$a \in \mathbb{R}$$ بحيث تحقق الدالة شروط مبرهنة رول على الفترة $$[a,3]$$، ثم إيجاد قيم $$c$$ الممكنة التي تحقق شروط مبرهنة رول. 2. **شروط مبرهنة رول:** - يجب أن تكون الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $$[a,3]$$. - يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $$]a,3[$$. - يجب أن تحقق الدالة $$F(a) = F(3)$$. 3. **التحقق من الاستمرارية وقابلية الاشتقاق:** الدالة $$F(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}$$ غير معرفة عند $$x=1$$ (مقام صفر). لذا يجب أن تكون الفترة $$[a,3]$$ لا تحتوي على $$x=1$$ لكي تكون الدالة مستمرة وقابلة للاشتقاق. 4. **إيجاد شرط $$F(a) = F(3)$$:** $$F(3) = \frac{2(3) + 2}{3 - 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ نريد أن $$F(a) = 4 \Rightarrow \frac{2a + 2}{a - 1} = 4$$ 5. **حل المعادلة لإيجاد $$a$$:** $$\frac{2a + 2}{a - 1} = 4$$ نضرب طرفي المعادلة في $$a-1$$ (مع مراعاة أن $$a \neq 1$$): $$2a + 2 = 4(a - 1)$$ $$2a + 2 = 4a - 4$$ ننقل الحدود: $$2 + 4 = 4a - 2a$$ $$6 = 2a$$ $$a = 3$$ لكن إذا كانت الفترة $$[3,3]$$ فهي نقطة واحدة وليست فترة، لذا لا تحقق مبرهنة رول. 6. **نبحث عن قيم أخرى لـ $$a$$ بحيث تكون الفترة $$[a,3]$$ لا تحتوي على $$x=1$$ و $$F(a) = F(3)$$:** نلاحظ أن المعادلة السابقة تعطي فقط $$a=3$$. 7. **التحقق من إمكانية اختيار $$a > 1$$ أو $$a < 1$$:** - إذا اخترنا $$a > 1$$، فالفترة $$[a,3]$$ تحتوي على نقطة $$x=1$$ فقط إذا كان $$a \leq 1$$. - إذا اخترنا $$a < 1$$، فالفترة $$[a,3]$$ تحتوي على $$x=1$$ لأن $$1 \in [a,3]$$. لذلك، لا يمكن اختيار $$a$$ بحيث تكون الدالة مستمرة على $$[a,3]$$ و $$F(a) = F(3)$$ إلا إذا كانت الفترة لا تحتوي على $$x=1$$. 8. **الاستنتاج:** - لا توجد قيمة $$a \neq 3$$ تحقق شروط مبرهنة رول على الفترة $$[a,3]$$ لأن الدالة غير معرفة عند $$x=1$$. - الفترة الوحيدة التي تحقق $$F(a) = F(3)$$ هي $$a=3$$، لكنها نقطة واحدة وليست فترة. 9. **إذا تجاهلنا نقطة $$x=1$$ واعتبرنا الفترة $$[a,3]$$ حيث $$a > 1$$، فإن الدالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على الفترة. 10. **إيجاد قيمة $$c$$ التي تحقق مبرهنة رول:** حسب مبرهنة رول، هناك $$c \in ]a,3[$$ بحيث: $$F'(c) = 0$$ 11. **حساب مشتقة الدالة:** $$F(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}$$ باستخدام قاعدة القسمة: $$F'(x) = \frac{(2)(x - 1) - (2x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-4}{(x - 1)^2}$$ 12. **حل المعادلة $$F'(c) = 0$$:** $$\frac{-4}{(c - 1)^2} = 0$$ لا توجد قيمة لـ $$c$$ تحقق هذه المعادلة لأن البسط ثابت وغير صفر. 13. **النتيجة النهائية:** - لا توجد قيمة $$a$$ تحقق شروط مبرهنة رول على فترة تحتوي $$x=1$$. - لا توجد قيمة $$c$$ تحقق $$F'(c) = 0$$. **لذلك، مبرهنة رول لا تنطبق على هذه الدالة على أي فترة تحتوي $$x=1$$.**