1. مسئله: حد $\lim_{x\to 1} \frac{x^{n+1} - (n+1)x + n}{(x-1)^2}$ را برای $n\in\mathbb{N}$ محاسبه کنید. 2. روش: برای حل، از جایگذاری $h=x-1$ و بسط دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم. 3. فرمول و قاعده مهم: بسط نیوتن برای توان صحیح مثبت تا مرتبه دوم: $$ (1+h)^{n+1} = 1 + (n+1)h + \frac{n(n+1)}{2}h^2 + o(h^2). $$ 4. جایگذاری: بگذارید $h=x-1$، پس $x=1+h$ و وقتی $x\to1$ آنگاه $h\to0$. 5. بسط صورت تا مرتبه دوم: $$ x^{n+1} = (1+h)^{n+1} = 1 + (n+1)h + \frac{n(n+1)}{2}h^2 + o(h^2). $$ 6. حال صورت را بازنویسی می‌کنیم: $$ x^{n+1} - (n+1)x + n = [1 + (n+1)h + \frac{n(n+1)}{2}h^2 + o(h^2)] - (n+1)(1+h) + n. $$ 7. حذف جملات ثابت و مرتبه اول: - جملات ثابت: $1 - (n+1) + n = 0$. - جملات مرتبه اول: $(n+1)h - (n+1)h = 0$. 8. بنابراین جملهٔ غالب مرتبه دوم است: $$ x^{n+1} - (n+1)x + n = \frac{n(n+1)}{2}h^2 + o(h^2). $$ 9. تقسیم بر مخرج و گرفتن حد: $$ \frac{x^{n+1} - (n+1)x + n}{(x-1)^2} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}h^2 + o(h^2)}{h^2} = \frac{n(n+1)}{2} + o(1). $$ 10. نتیجه: با گرفتن حد $h\to0$ داریم: $$ \lim_{x\to1} \frac{x^{n+1} - (n+1)x + n}{(x-1)^2} = \frac{n(n+1)}{2}. $$ پاسخ: $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$.