1. مسئله: مقدار سری نامتناهی $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+2)}$$ را با روش تفکیک کسرها و روش تلسکوپی بیابید. 2. فرمول و روش: برای تفکیک کسرها، کسر را به صورت جمع دو کسر ساده‌تر می‌نویسیم: $$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$$ 3. یافتن ضرایب A و B: ضرب طرفین در $$n(n+2)$$: $$2 = A(n+2) + Bn = An + 2A + Bn = (A+B)n + 2A$$ برای اینکه این تساوی برای همه $$n$$ برقرار باشد، ضرایب را برابر می‌گذاریم: $$A + B = 0$$ $$2A = 2$$ از $$2A=2$$ داریم $$A=1$$ و از $$A+B=0$$ داریم $$B=-1$$. 4. پس: $$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$$ 5. سری به صورت تلسکوپی: $$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$$ 6. نوشتن جملات اول سری: $$\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \cdots$$ 7. حذف جملات میانی که مثبت و منفی یکسان هستند: $$= \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \right) - \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} \right)$$ 8. چون $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N+1} = 0$$ و $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N+2} = 0$$، داریم: $$= 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ پاسخ نهایی: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+2)} = \frac{3}{2}$$