1. مسئله: مساحت سطح حاصل از دوران منحنی $y=f(x)$ حول محور $x$ را در بازه $[a,b]$ بیابید. 2. فرمول: مساحت سطح دوران حول محور $x$ برابر است با: $$ S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx $$ 3. توضیح: - $f(x)$ تابع مثبت و مشتق‌پذیر است. - $f'(x)$ مشتق تابع است. - این فرمول مساحت سطحی است که با چرخش منحنی حول محور $x$ ایجاد می‌شود. 4. مراحل حل: - ابتدا مشتق $f(x)$ را بیابید. - سپس مقدار $\sqrt{1 + (f'(x))^2}$ را محاسبه کنید. - حاصلضرب $f(x)$ در این مقدار را در فرمول انتگرال قرار دهید. - انتگرال را در بازه $[a,b]$ محاسبه کنید. - در نهایت حاصل انتگرال را در $2\pi$ ضرب کنید تا مساحت سطح به دست آید. 5. نکته: این فرمول برای توابع مثبت و مشتق‌پذیر روی بازه $[a,b]$ معتبر است و مساحت سطح دوران را به دقت محاسبه می‌کند.