1. نبدأ بحساب معادلة المماس (T) للمنحني (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة 0. - الدالة المعطاة: $$f(x) = (x+1)e^{-x} - x$$ - نحسب قيمة الدالة عند 0: $$f(0) = (0+1)e^{0} - 0 = 1$$ - نحسب مشتقة الدالة $f'(x)$: من السؤال السابق: $$f'(x) = -xg(x)$$ حيث $$g(x) = e^{-x} + \frac{1}{x}$$ - إذن: $$f'(0) = -0 \times g(0) = 0$$ (لكن $g(0)$ غير معرفة، نأخذ النهاية من الجانبين، ولكن بما أن $x=0$ نقطة غير معرفة لـ $g$, نستخدم المشتقة المباشرة من $f$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x+1)e^{-x} - x] = e^{-x} - (x+1)e^{-x} - 1 = -xe^{-x} - 1$$ إذن: $$f'(0) = -0 \times e^{0} - 1 = -1$$ - معادلة المماس عند $x=0$: $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 - 1 \times x = 1 - x$$ 2. نثبت أن: $$f(\alpha) = -\alpha - 1 - \frac{1}{\alpha}$$ - نبدأ من تعريف $f(x)$: $$f(x) = (x+1)e^{-x} - x$$ - نستخدم المعادلة $g(\alpha) = 0$ حيث: $$g(x) = e^{-x} + \frac{1}{x}$$ - من $g(\alpha) = 0$: $$e^{-\alpha} = -\frac{1}{\alpha}$$ - نعوض في $f(\alpha)$: $$f(\alpha) = (\alpha + 1)e^{-\alpha} - \alpha = (\alpha + 1)\left(-\frac{1}{\alpha}\right) - \alpha = -\frac{\alpha + 1}{\alpha} - \alpha = -1 - \frac{1}{\alpha} - \alpha$$ 3. نحدد قيمة $f(\alpha)$ باستخدام التقدير $-0.6 < \alpha < -0.5$: - نأخذ قيمة تقريبية $\alpha = -0.55$: $$f(-0.55) = -(-0.55) - 1 - \frac{1}{-0.55} = 0.55 - 1 + 1.818 = 1.368$$ - إذن $f(\alpha) \approx 1.368$. 4. رسم الخطوط والمنحنيات: - المعادلة للمستقيم (∆): $$y = -x$$ - معادلة المماس (T): $$y = 1 - x$$ - الدالة $f(x)$ كما معطاة. - المجال للرسم: $$]-2, +\infty[$ - نقاط تقاطع $f$ مع محور $x$ تقع بين: $$-1.4 < x_1 < -1.3$$ $$0.7 < x_2 < 0.8$$ - يمكن رسم $f$, (∆), و (T) على نفس المستوى البياني ضمن المجال المحدد.