1. **Problem statement:** Zeichnen Sie die Tangenten an die Funktionen $f(x) = 0,5x^2 - 1$ und $g(x) = x^3 - 2x + 1$ an den angegebenen Punkten und bestimmen Sie die Tangentengleichungen. 2. **Formeln und Regeln:** - Die Tangentengleichung an den Punkt $x_0$ lautet: $$t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ - Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Tangente an der Stelle $x$. 3. **Ableitungen berechnen:** - Für $f(x) = 0,5x^2 - 1$: $$f'(x) = 0,5 \cdot 2x = x$$ - Für $g(x) = x^3 - 2x + 1$: $$g'(x) = 3x^2 - 2$$ 4. **Tangenten an den Punkten bestimmen:** - Punkte für $f$: - A: $x=0$, $f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 1 = -1$, $f'(0) = 0$ - B: $x=2$, $f(2) = 0,5 \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1$, $f'(2) = 2$ - Tangenten: - $t_A(x) = 0 \cdot (x - 0) - 1 = -1$ - $t_B(x) = 2(x - 2) + 1 = 2x - 4 + 1 = 2x - 3$ - Punkte für $g$: - C: $x=0$, $g(0) = 1$, $g'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 = -2$ - D: $x=1$, $g(1) = 1 - 2 + 1 = 0$, $g'(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ - Tangenten: - $t_C(x) = -2(x - 0) + 1 = -2x + 1$ - $t_D(x) = 1(x - 1) + 0 = x - 1$ **Final answers:** - $t_A(x) = -1$ - $t_B(x) = 2x - 3$ - $t_C(x) = -2x + 1$ - $t_D(x) = x - 1$