1. مسئله: معادله خط مماس بر نمودار تابع $$f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{\sqrt{x}-2}}$$ را در نقطه‌ای که طول مماس برابر 4 است، بیابید. 2. ابتدا باید مشتق تابع $$f(x)$$ را پیدا کنیم تا شیب خط مماس را در نقطه مورد نظر به دست آوریم. 3. تابع را به صورت $$f(x) = \left(\frac{x+1}{\sqrt{x}-2}\right)^{\frac{1}{2}}$$ می‌نویسیم. 4. برای مشتق‌گیری از قاعده زنجیره‌ای و مشتق کسر استفاده می‌کنیم: $$u = x+1, \quad v = \sqrt{x} - 2$$ $$f(x) = (\frac{u}{v})^{\frac{1}{2}}$$ 5. مشتق تابع: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{u}{v}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{v u' - u v'}{v^2}$$ که در آن: $$u' = 1, \quad v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ 6. بنابراین: $$f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v}{u}} \cdot \frac{v \cdot 1 - u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{v^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{x} - 2}{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2 - \frac{x+1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} - 2)^2}$$ 7. طول مماس (شیب خط مماس) برابر $$|f'(a)| = 4$$ است. بنابراین: $$|f'(a)| = 4$$ 8. برای یافتن مقدار $$a$$، معادله زیر را حل می‌کنیم: $$\left| \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{a} - 2}{a+1}} \cdot \frac{\sqrt{a} - 2 - \frac{a+1}{2\sqrt{a}}}{(\sqrt{a} - 2)^2} \right| = 4$$ 9. پس از یافتن مقدار $$a$$، مقدار $$f(a)$$ را محاسبه می‌کنیم تا نقطه تماس $$A(a, f(a))$$ مشخص شود. 10. معادله خط مماس در نقطه $$A$$ به صورت زیر است: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ که $$f'(a) = 4$$ است. 11. در نهایت معادله خط مماس را به شکل استاندارد یا شیب-مقطع می‌نویسیم. q_count: 1