1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f(x) = 2x^3 - 6x$. (a) Trouver l'équation de la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $5$. (b) Déterminer pour quelles valeurs de $x$ la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses. 2. **Formule utilisée :** La dérivée $f'(x)$ donne la pente de la tangente en tout point $x$. L'équation de la tangente en $x=a$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ 3. **Calcul de la dérivée :** $$f(x) = 2x^3 - 6x$$ $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(6x) = 6x^2 - 6$$ 4. **(a) Équation de la tangente en $x=5$ :** Calcul de $f'(5)$ : $$f'(5) = 6 \times 5^2 - 6 = 6 \times 25 - 6 = 150 - 6 = 144$$ Calcul de $f(5)$ : $$f(5) = 2 \times 5^3 - 6 \times 5 = 2 \times 125 - 30 = 250 - 30 = 220$$ Équation de la tangente : $$y = 144(x - 5) + 220$$ Développons : $$y = 144x - 720 + 220 = 144x - 500$$ 5. **(b) Tangente parallèle à l'axe des abscisses :** La tangente est parallèle à l'axe des abscisses si sa pente est nulle, donc : $$f'(x) = 0$$ $$6x^2 - 6 = 0$$ $$6x^2 = 6$$ $$\cancel{6}x^2 = \cancel{6}$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ **Réponse finale :** (a) L'équation de la tangente au point d'abscisse 5 est $$y = 144x - 500$$. (b) La tangente est parallèle à l'axe des abscisses pour $$x = 1$$ et $$x = -1$$.