1. **Planteamiento del problema:** Queremos aproximar $\sin(0.12)$ usando un polinomio de Taylor de orden 2. 2. **Paso A: Función objetivo y centro de expansión** La función objetivo es $f(x) = \sin(x)$. Elegimos el centro $a=0$ porque es común para funciones trigonométricas y facilita los cálculos. 3. **Paso B: Construcción del polinomio de Taylor de orden 2** El polinomio de Taylor de orden 2 centrado en $a=0$ es: $$ P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 $$ Calculamos las derivadas en $a=0$: - $f(0) = \sin(0) = 0$ - $f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1$ - $f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0$ Por lo tanto: $$ P_2(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2} x^2 = x $$ 4. **Paso C: Estimación del error absoluto** Calculamos el valor real con calculadora: $$ \sin(0.12) \approx 0.1197122 $$ Valor aproximado con $P_2$: $$ P_2(0.12) = 0.12 $$ Error absoluto: $$ |\sin(0.12) - P_2(0.12)| = |0.1197122 - 0.12| = 0.0002878 $$ 5. **Paso D: Resto de Lagrange y análisis** El resto de Lagrange para el polinomio de orden 2 es: $$ R_2(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!} (x - a)^3 $$ Donde $\xi$ está entre $a=0$ y $x=0.12$. La tercera derivada es: $$ f^{(3)}(x) = -\cos(x) $$ El valor máximo absoluto de $f^{(3)}(\xi)$ en $[0,0.12]$ es aproximadamente 1 porque $|\cos(x)| \leq 1$. Entonces: $$ |R_2(0.12)| \leq \frac{1}{6} (0.12)^3 = \frac{1}{6} \times 0.001728 = 0.000288 $$ Este valor es muy cercano al error absoluto estimado, lo que confirma que la aproximación es precisa y el resto de Lagrange es una buena cota para el error. **Respuesta final:** La aproximación de $\sin(0.12)$ usando el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en 0 es: $$ \sin(0.12) \approx 0.12 $$ con un error absoluto menor que $0.000288$.